《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例2 (1) (2024·湖南岳阳模拟) 函数 $ y = \left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt{x - 1}} $ 的值域是(B)

A.$(-\infty, 0)$
B.$(0, 1]$
C.$[1, +\infty)$
D.$(-\infty, 1]$

答案： 例2
(1)B 解析
(1)令$t=\sqrt{x - 1}，$则t≥0，
∵$y=(\frac{1}{3})^{t}$在区间[0,+∞)上单调递减，
∴$(\frac{1}{3})^{t}≤(\frac{1}{3})^{0}=1，$又$(\frac{1}{3})^{t}＞0，$
∴$y=(\frac{1}{3})^{\sqrt{x - 1}}$的值域为(0,1]，故选B.

(2) (2024·江苏无锡模拟) 高斯是德国著名的数学家，近代数学的奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设 $ x \in \mathbf{R} $，用 $[x]$ 表示不超过 $ x $ 的最大整数，则 $ y = [x] $ 称为“高斯函数”，例如：$[-2.5] = -3$，$[2.7] = 2$。已知函数 $ f(x) = \frac{e^x - 1}{e^x + 1} $，则函数 $[f(x)]$ 的值域是(B)

A.$\{-1, 1\}$
B.$\{-1, 0\}$
C.$(-1, 1)$
D.$(-1, 0)$

答案： 例2
(2)B 解析
(2)(方法一)函数$f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}=1-\frac{2}{1 + e^{x}}，$因为$e^{x}＞0，$所以$1+e^{x}＞1，$所以0＜\frac{1}{1 + e^{x}}＜1.因此-2＜-\frac{2}{1 + e^{x}}＜0，所以-1＜1-\frac{2}{1 + e^{x}}＜1，即-1＜f(x)＜1.
当-1＜f(x)＜0时，[f(x)]=-1；当0≤f(x)＜1时，[f(x)]=0，因此[f(x)]的值域为{-1,0}，故选B.
(方法二)由$f(x)=\frac{e^{x}-1}{e^{x}+1}，$得$e^{x}=\frac{f(x)+1}{1 - f(x)}，$因为$e^{x}＞0，$所以$\frac{f(x)+1}{1 - f(x)}＞0，$解得-1＜f(x)＜1.当-1＜f(x)＜0时，[f(x)]=-1；当0≤f(x)＜1时，[f(x)]=0，因此[f(x)]的值域为{-1,0}，故选B.

对点训练1 (2024·北京西城模拟) 使函数 $ f(x) = |e^x - a| $ 的值域为 $[0, +\infty)$ 的一个 $ a $ 的值为1(答案不唯一)。

答案： 对点训练1 1(答案不唯一) 解析 令$f(x)=\vert e^{x}-a\vert，$由题意得f(x)的值域为[0,+∞)，又$y=e^{x}$的值域为(0,+∞)，所以-a＜0，解得a＞0，故a的取值范围为(0,+∞).

例3 (1) (2024·江西赣州模拟) 已知函数 $ f(x) = e^x $，若 $ a = f(4^{0.99}) $，$ b = f(2^{1.99}) $，$ c = f(\ln 2) $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为(C)

A.$ a ＜ b ＜ c $
B.$ a ＜ c ＜ b $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ c ＜ b ＜ a $

答案： 例3
(1)C 解析
(1)因为函数$f(x)=e^{x}$在R上单调递增，且$2^{1.99}＞2^{1}=4^{0.99}＞2^{0}=1＞\ln2，$因此$f(2^{1.99})＞f(4^{0.99})＞f(\ln2)，$即c＜a＜b，故选C.

(2) (2024·辽宁大连模拟) 已知 $ a = \left(\frac{3}{2}\right)^{-0.3} $，$ b = 1.1^{0.7} $，$ c = \left(\frac{2}{3}\right)^{\frac{1}{3}} $，则 $ a $，$ b $，$ c $ 的大小关系为(C)

A.$ c ＜ b ＜ a $
B.$ b ＜ a ＜ c $
C.$ c ＜ a ＜ b $
D.$ b ＜ c ＜ a $

答案： 例3
(2)C 解析
(2)因为函数$y=(\frac{2}{3})^{x}$在R上单调递减，所以$a=(\frac{3}{2})^{-0.3}=(\frac{2}{3})^{0.3}$＜(\frac{2}{3})^{0}=1，即a∈(0,1)；c=(\frac{2}{3})^{c}＜(\frac{2}{3})^{0}=1，即c∈(0,1)，又\frac{1}{3}＞0.3，则$(\frac{2}{3})^{c}$＜(\frac{2}{3})^{0.3}，即a＞c.因为函数$y=1.1^{x}$在R上单调递增，则$b=1.1^{0.1}＞1.1^{0}=1.$综上，b＞a＞c，故选C.

例4 (1) (2024·福建厦门模拟) 若函数 $ f(x) = 4^x - a \cdot 2^{x - 1} + 4 $ 的一个零点是 $ 0 $，那么它的另一个零点为(B)

A.$ 1 $
B.$ 2 $
C.$ 4 $
D.$ \frac{1}{2} $

答案： 例4
(1)B 解析
(1)依题意有$f(0)=4^{0}-a\cdot2^{-1}+4=0，$解得a=10，于是$f(x)=4^{x}-10\cdot2^{x - 1}+4=(2^{x})^{2}-5\cdot2^{x}+4，$令$2^{x}=t(t＞0)，$则函数为$y=t^{2}-5t+4，$令y=0，解得t=1或t=4，当t=1时，得x=0；当t=4时，得x=2，故选B.