《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例5(1)(2024·山东潍坊模拟)已知函数 $ f(x) = \ln(x + 1) $，$ g(x) = \ln(\mathrm{e}^{2}x) $，若直线 $ y = kx + b $ 为函数 $ f(x) $ 和 $ g(x) $ 图象的公切线，则 $ b $ 等于(B)

A.$\frac{1}{2}$
B.$1 - \ln 2$
C.$2 - \ln 2$
D.$-\ln 2$

答案： 例5　
(1)B　
(2)$e - 2$　解析
(1)设直线$l:y = kx + b$与$f(x)=\ln(x + 1)$的图象相切于点$A(x_{1},y_{1})$，与$g(x)=\ln(e^{2}x)$的图象相切于点$B(x_{2},y_{2})$，由$f(x)=\ln(x + 1)$，所以$f^{\prime}(x)=\frac{1}{x + 1}$，由$f^{\prime}(x_{1})=\frac{1}{x_{1}+1}=k$，可得$x_{1}=\frac{1 - k}{k}$，则$y_{1}=\ln(x_{1}+1)=\ln(\frac{1 - k}{k}+1)=\ln\frac{1}{k}=-\ln k$，即点$A(\frac{1 - k}{k},-\ln k)$，代入直线$l$中有$-\ln k=k\cdot\frac{1 - k}{k}+b$，即$b = k - \ln k - 1$①。由$g(x)=\ln(e^{2}x)=\ln e^{2}+\ln x = 2+\ln x$，所以$g^{\prime}(x)=\frac{1}{x}$，由$g^{\prime}(x_{2})=\frac{1}{x_{2}}=k$，可得$x_{2}=\frac{1}{k}$，$y_{2}=g(x_{2})=2+\ln\frac{1}{k}=2-\ln k$，即点$B(\frac{1}{k},2-\ln k)$，代入直线$l$中有$2-\ln k=k\cdot\frac{1}{k}+b$，即$b = 1 - \ln k$②。联立①②，解得$k = 2$，所以$b = 1 - \ln 2$。故选B。

(2)(2024·重庆模拟)已知函数 $ f(x) = \mathrm{e}^{x} - ax + b $($ a,b \in \mathbf{R} $)，$ g(x) = x^{2} + x $，若这两个函数的图象在公共点 $ A(1,2) $ 处有相同的切线，则 $ a - b = $ $e - 2$.

答案： 例5　
(1)B　
(2)$e - 2$　解析
(2)因为$f(x)=e^{x}-ax + b$，$g(x)=x^{2}+x$，所以$f^{\prime}(x)=e^{x}-a$，$g^{\prime}(x)=2x + 1$，因为$f(x)$，$g(x)$的图象在公共点$A(1,2)$处有相同的切线，所以$\begin{cases}g^{\prime}(1)=f^{\prime}(1)\\f(1)=2\end{cases}$，即$\begin{cases}3 = e - a\\e - a + b = 2\end{cases}$，所以$a - b = e - 2$。

[对点训练](2024·山东青岛模拟)已知曲线 $ f(x) = \mathrm{e}^{x} - 1 $($\mathrm{e}$ 为自然对数的底数)，$ g(x) = \ln x + 1 $，请写出 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的一条公切线的方程 $y = ex - 1$或$y = x$.
提醒：完成课时规范练 19(A 册)

答案： [对点训练](2024·山东青岛模拟)已知曲线 $ f(x) = \mathrm{e}^{x} - 1 $($\mathrm{e}$ 为自然对数的底数)，$ g(x) = \ln x + 1 $，请写出 $ f(x) $ 与 $ g(x) $ 的一条公切线的方程 $y = ex - 1$或$y = x$.
提醒：完成课时规范练 19(A 册)

函数的单调性与其导数的关系

微思考
“函数 $ f(x) $ 在区间 $ (a,b) $ 内的导数大(小)于 $ 0 $”是“$ f(x) $ 在区间 $ (a,b) $ 内单调递增(减)”的什么条件？

答案： 微思考 提示充分不必要条件.若函数$f(x)$在区间$(a,b)$内的导数大（小）于0，则必有$f(x)$在区间$(a,b)$内单调递增（减），但反之不一定，例如$f(x)=x^3$在$\mathbf{R}$上单调递增，但$f'(x)=3x^2\geqslant0$.