《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

(2) 已知入射光线经过点$A(-3,4)$，被直线$l:x - y + 3 = 0$反射，反射光线经过点$B(3,8)$，则反射光线所在直线的斜率为(C)

A.$-1$
B.$\frac{1}{4}$
C.4
D.$-4$

答案：
(2)C 解析
(2)设点$A(-3,4)$关于直线$l:x - y + 3 = 0$对称的点为$A^{\prime}(a,b)$,则$\begin{cases}\frac{b - 4}{a + 3} = -1,\frac{a - 3}{2} - \frac{b + 4}{2} + 3 = 0,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 0,\end{cases}$故$A^{\prime}(1,0)$,反射光线经过点$A^{\prime},B$,所以直线$A^{\prime}B$的斜率为$k_{A^{\prime}B} = \frac{8 - 0}{3 - 1} = 4$,即反射光线所在直线的斜率为$4$.

(1) 若直线$l_{1}:y - 2 = (k - 1)x$和直线$l_{2}$关于直线$y = x + 1$对称，则直线$l_{2}$恒过定点(C)

A.$(2,0)$
B.$(1,-1)$
C.$(1,1)$
D.$(-2,0)$

答案： 对点训练3
(1)C
(2)$2x - y - 11 = 0$ 解析
(1)直线$l_{1}:y - 2 = (k - 1)x$过定点$(0,2)$,设点$(0,2)$关于直线$y = x + 1$对称的点为$(a,b)$,则$\begin{cases}\frac{b - 2}{a} = -1,\frac{b + 2}{2} = \frac{a}{2} + 1,\end{cases}$解得$\begin{cases}a = 1,\\b = 1,\end{cases}$故直线$l_{2}$恒过定点$(1,1)$.

(2) 直线$2x - y + 3 = 0$关于点$P(3,2)$对称的直线的一般式方程为

$2x - y - 11 = 0$

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提醒：完成课时规范练60(B册)

答案：
(2)$2x - y - 11 = 0$ 解析
(2)设对称直线为$2x - y + C = 0$,根据点$P(3,2)$到两条直线的距离相等,则有$\frac{\vert 2 × 3 - 2 + C\vert}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}} = \frac{\vert 2 × 3 - 2 + 3\vert}{\sqrt{2^{2} + (-1)^{2}}}$,即$\vert 4 + C\vert = 7$,解得$C = 3$(舍)或$C = -11$.所以对称直线的方程为$2x - y - 11 = 0$.

1. 圆的定义与方程
圆的定义：平面上到定点的距离等于____的点的集合叫做圆. 定点是圆心，定长是圆的半径
圆的标准方程：$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(r ＞ 0)$，表示以____为圆心，以$r$为半径的圆
圆的一般方程：$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0(D^2 + E^2 - 4F ＞ 0)$，表示以$\left( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right)$为圆心，以$\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$为半径的圆
微点拨：方程$x^2 + y^2 + Dx + Ey + F = 0$，当$D^2 + E^2 - 4F ＞ 0$时，表示圆心为$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$，半径$r = \frac{\sqrt{D^2 + E^2 - 4F}}{2}$的圆；当$D^2 + E^2 - 4F = 0$时，表示一个点$(-\frac{D}{2}, -\frac{E}{2})$；当$D^2 + E^2 - 4F ＜ 0$时，不表示任何图形.

答案： 1.定长　$(a,b)\left( -\frac{D}{2},-\frac{E}{2} \right)$
$\frac{1}{2}\sqrt{D^{2}+E^{2}-4F}$

2. 点与圆的位置关系
圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2(r ＞ 0)$，圆心$C$的坐标为$(a, b)$，半径为$r$，设$M$的坐标为$(x_0, y_0)$.

答案： 2.$(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}＞r^{2}$　$(x_{0}-a)^{2}+(y_{0}-b)^{2}＜r^{2}$

3. 圆的参数方程
圆$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$的参数方程为$\begin{cases}x = a + r\cos\theta, \\ y = b + r\sin\theta\end{cases}$(其中$\theta$为参数).

答案： 答题卡填写：
由题意已知圆的标准方程为$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2$。
设圆上任意一点$P$的坐标为$(x, y)$，圆心为$O(a,b)$，
从圆心$O$到点$P$的连线与$x$轴正方向的夹角为$\theta$。
根据三角函数的定义，有：
$x - a = r\cos\theta$。
$y - b = r\sin\theta$。
将上述两个等式整理，得到圆的参数方程为：
$\begin{cases}x = a + r\cos\theta, \\y = b + r\sin\theta.\end{cases}$
其中，$\theta$为参数。