《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

2. 解三角形实际应用题的步骤
所谓解三角形，就是已知三角形的几个元素(边或角)求其余元素的过程

答案： 解三角形实际应用题的步骤如下：
1.分析：理解题意，明确已知条件和所求量，从实际问题中抽象出三角形模型。
2.建模：根据题意画出对应的抽象概括示意图，列出已知和未知的量。
3.求解：应用正弦定理、余弦定理及其他几何知识，结合已知条件解三角形，求出未知量。
4.验证：将数学模型的解还原为实际问题的解，验证是否符合实际情况和题意。
5.作答：对实际问题的解进行总结和回答。

1. 思考辨析(判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”).
(1)东南方向就是指南偏东$45^{\circ}$的方向. (√)
(2)若从$A$处看$B$处的仰角为$\alpha$，从$B$处看$A$处的俯角为$\beta$，则$\alpha+\beta = 180^{\circ}$. (×)
(3)点$A$在$B$的南偏西$20^{\circ}$方向上，若以点$B$为基点，点$A$的方位角为$200^{\circ}$. (√)
(4)俯角是铅垂线与目标视线所成的角，其取值范围是$\left[0,\frac{\pi}{2}\right]$. (×)

答案： 1.
(1)√　
(2)×　
(3)√　
(4)×

2. 如图所示，$A$，$B$是某沼泽地上不便到达的两点，$C$，$D$是可到达的两点. 已知$A$，$B$，$C$，$D$ 4 点都在水平面上，而且已经测得$\angle ACB = 45^{\circ}$，$\angle BCD = 30^{\circ}$，$\angle CDA = 45^{\circ}$，$\angle BDA = 15^{\circ}$，$CD = 100$ m，则$AB$的长为$\frac{50\sqrt{15}}{3}$ m.

答案： 2.$\frac{50\sqrt{15}}{3}$　解析：因为A,B,C,D4点都在水平面上，所以$\angle BDC=\angle BDA + \angle CDA=15^{\circ}+45^{\circ}=60^{\circ}$，因此$\angle CBD=180^{\circ}-30^{\circ}-60^{\circ}=90^{\circ}$，所以在$Rt\triangle BCD$中，$BC=100\cos30^{\circ}=50\sqrt{3}(m)$。在$\triangle ACD$中，因为$\angle CAD=180^{\circ}-45^{\circ}-30^{\circ}-45^{\circ}=60^{\circ}$，所以由正弦定理可知$\frac{AC}{\sin45^{\circ}}=\frac{100}{\sin60^{\circ}}$，因此$AC=\frac{100\sqrt{6}}{3}m$。在$\triangle ABC$中，由余弦定理可知$AB^{2}=(\frac{100\sqrt{6}}{3})^{2}+(50\sqrt{3})^{2}-2×\frac{100\sqrt{6}}{3}×50\sqrt{3}\cos45^{\circ}=\frac{12500}{3}$，从而有$AB=\frac{50\sqrt{15}}{3}m$。

3. 如图所示，$AB$是底部$B$不可到达的一座建筑物，$A$为建筑物的最高点. 设计一种测量建筑物高度$AB$的方法，并求出建筑物的高度.解：如图所示，选择一条水平基线HG，使H,G,B三点在同一条直线上，在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是$\alpha,\beta$，$CD=a$，测角仪器的高是$h$，那么，在$\triangle ACD$中，由正弦定理，得$AC=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)}$。所以，这座建筑物的高度为$AB=AE + h=AC\sin\alpha + h=\frac{a\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)}+h$。

答案：
3.解：如图所示，选择一条水平基线HG，

使H,G,B三点在同一条直线上，在G,H两点用测角仪器测得A的仰角分别是$\alpha,\beta$，$CD=a$，测角仪器的高是$h$，那么，在$\triangle ACD$中，由正弦定理，得$AC=\frac{a\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)}$。所以，这座建筑物的高度为$AB=AE + h=AC\sin\alpha + h=\frac{a\sin\alpha\sin\beta}{\sin(\alpha - \beta)}+h$。

4. (2021·全国甲，理 8)2020 年 12 月 8 日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为 8 848.86(单位：m)，三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一. 如图是三角高程测量法的一个示意图，现有$A$，$B$，$C$三点，且$A$，$B$，$C$在同一水平面上的投影$A'$，$B'$，$C'$满足$\angle A'C'B' = 45^{\circ}$，$\angle A'B'C' = 60^{\circ}$. 由$C$点测得$B$点的仰角为$15^{\circ}$，$BB'$与$CC'$的差为 100；由$B$点测得$A$点的仰角为$45^{\circ}$，则$A$，$C$两点到水平面$A'B'C'$的高度差$AA' - CC'$约为($\sqrt{3}\approx1.732$)(B)

A.346
B.373
C.446
D.473

答案：
4.B　解析：如图，过点C作$CD\perp BB'$，垂足为点D，过点D作$DE\perp AA'$，垂足为点E，连接CE，过点B作$BF\perp AA'$，垂足为点F，则由题意可得$\angle BCD=15^{\circ}$，$\angle ABF=45^{\circ}$，$FE=BD=BB'-CC'=100$，$AF=BF=DE$，所以$AA'-CC'=BF + 100$。易得$CD// C'B'$，$DE// B'A'$，$EC// A'C'$，所以$\angle ECD=\angle A'C'B'=45^{\circ}$，$\angle EDC=\angle A'B'C'=60^{\circ}$。在$Rt\triangle CDB$中，$CD=\frac{100}{\tan15^{\circ}}$，在$\triangle CDE$中，$\angle CED=180^{\circ}-45^{\circ}-60^{\circ}=75^{\circ}$，由正弦定理，得$\frac{DE}{\sin45^{\circ}}=\frac{CD}{\sin75^{\circ}}$，即$DE=\frac{100\sin45^{\circ}}{\sin75^{\circ}\tan15^{\circ}}=\frac{100\sin45^{\circ}}{\sin75^{\circ}×\frac{\sin15^{\circ}}{\cos15^{\circ}}}=\frac{100\sin45^{\circ}}{\sin15^{\circ}}$。又$\sin15^{\circ}=\sin(45^{\circ}-30^{\circ})=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$，所以$DE=\frac{100\sin45^{\circ}}{\sin15^{\circ}}=100(\sqrt{3}+1)\approx273$，所以$AA'-CC'=BF + 100=DE + 100\approx373$，故选B。

5. (2021·全国乙，理 9)魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第一题是测量海岛的高. 如图，点$E$，$H$，$G$在水平线$AC$上，$DE$和$FG$是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，$EG$称为“表距”，$GC$和$EH$都称为“表目距”，$GC$与$EH$的差称为“表目距的差”，则海岛的高$AB =$(A)

A.$\frac{表高×表距}{表目距的差}+表高$
B.$\frac{表高×表距}{表目距的差}-表高$
C.$\frac{表高×表距}{表目距的差}+表距$
D.$\frac{表高×表距}{表目距的差}-表距$

答案： 5.A　解析：过点D作$DM// AC$，交AB于点M(图略)。由题意可得D,F,M三点共线。设$\angle DHE=\alpha$，$\angle FCG=\beta$，则$\angle BDM=\alpha$，$\angle BFM=\beta$。因为$\frac{BM}{MD}=\tan\alpha$，$\frac{BM}{MF}=\tan\beta$，所以$\frac{BM}{\tan\alpha}=MD$，$\frac{BM}{\tan\beta}=MF$，两式作差可得$\frac{BM}{\tan\beta}-\frac{BM}{\tan\alpha}=MF - MD=DF=EG$，所以$BM=\frac{EG}{\frac{1}{\tan\beta}-\frac{1}{\tan\alpha}}=\frac{EG}{\frac{GC}{FG}-\frac{EH}{DE}}$。又因为$DE=FG$，所以$BM=\frac{EG\cdot DE}{GC - EH}$，所以海岛的高$AB=AM + BM=AM+\frac{EG\cdot DE}{GC - EH}=DE+\frac{EG\cdot DE}{GC - EH}$，故选A。