《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例 1 (2024·江西景德镇一中检测)已知在数列$\{ a_n \}$中，$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = 4a_n - 6$，则$a_{2023} =$(C)

A.$-4^{2023} + 2$
B.$-4^{2023} - 2$
C.$-4^{2022} + 2$
D.$-4^{2022} - 2$

答案： C 解析 由$a_{n + 1} = 4a_n - 6$，得$a_{n + 1} - 2 = 4(a_n - 2)$，而$a_1 - 2 = - 1$，因此数列$\{ a_n - 2\}$是以$- 1$为首项，$4$为公比的等比数列，则$a_n - 2 = (- 1) × 4^{n - 1}$，即$a_n = - 4^{n - 1} + 2$，所以$a_{2023} = - 4^{2022} + 2$。

例 2 (2024·湖北武汉六中模拟)已知在数列$\{ a_n \}$中，$a_1 = \frac{5}{6}$，$a_{n + 1} = \frac{1}{3}a_n + (\frac{1}{2})^{n + 1}$，则$a_n =$$\frac{3}{2^n} - \frac{2}{3^n}$.

答案： $\frac{3}{2^n} - \frac{2}{3^n}$ 解析 因为$a_1 = \frac{5}{6}$，$a_{n + 1} = \frac{1}{3}a_n + (\frac{1}{2})^{n + 1}$，所以$2^{n + 1}a_{n + 1} = \frac{2}{3} × 2^n a_n + 1$，整理得$2^{n + 1}a_{n + 1} - 3 = \frac{2}{3}(2^n a_n - 3)$，所以数列$\{ 2^n a_n - 3\}$是以$2a_1 - 3 = - \frac{4}{3}$为首项，$\frac{2}{3}$为公比的等比数列，所以$2^n a_n - 3 = - \frac{4}{3} × (\frac{2}{3})^{n - 1}$，解得$a_n = \frac{3}{2^n} - \frac{2}{3^n}$。

例 3 (2024·河北唐县高三检测)若$a_1 = 1$，$a_{n + 1} = 2a_n - 3n$，$n \in \mathbf{N}^*$，则$a_n =$$-5 \cdot 2^{n - 1} + 3n + 3$.

答案： $-5 \cdot 2^{n - 1} + 3n + 3$ 解析 设$a_{n + 1} + \lambda (n + 1) + u = 2(a_n + \lambda n + u)$，所以$a_{n + 1} = 2a_n + \lambda n + u - \lambda$，所以$\begin{cases} \lambda = - 3, \\ u - \lambda = 3. \end{cases}$解得$\lambda = u = - 3$，所以$\frac{a_{n + 1} - 3(n + 1) - 3}{a_n - 3n - 3} = 2$。所以数列$\{ a_n - 3n - 3\}$是以$a_1 - 3 - 3 = - 5$为首项，$2$为公比的等比数列，所以$a_n - 3n - 3 = (- 5) × 2^{n - 1}$，所以$a_n = - 5 \cdot 2^{n - 1} + 3n + 3$。

(1)(2024·山东潍坊模拟)已知数列$\{ a_n \}$满足$a_{n + 1} = 2a_n - 1$，$a_1 + a_2 = a_3$，则$\{ a_n \}$的通项公式为__________.

答案：
(1)$a_n = 2^{n - 1} + 1$ 解析
(1)因为数列$\{ a_n \}$满足$a_{n + 1} = 2a_n - 1$，$a_1 + a_2 = a_3$，所以$\begin{cases} a_2 = 2a_1 - 1, \\ a_1 + a_2 = a_3, \\ a_3 = 2a_2 - 1, \end{cases}$解得$a_1 = 2$，$a_2 = 3$，$a_3 = 5$。由$a_{n + 1} = 2a_n - 1$，得$a_{n + 1} - 1 = 2(a_n - 1)$，易知$a_n \neq 1$，所以$\frac{a_{n + 1} - 1}{a_n - 1} = 2$，所以数列$\{ a_n - 1\}$是以$a_1 - 1 = 1$为首项，$2$为公比的等比数列，
所以$a_n - 1 = 2^{n - 1}$，即$a_n = 2^{n - 1} + 1$。

(2)已知数列$\{ a_n \}$的首项$a_1 = 2$，$a_{n + 1} = \frac{1}{3}a_n + 2n + \frac{5}{3}$，则$\{ a_n \}$的通项公式为$(\frac{1}{3})^{n - 1} + 3n - 2$.

答案：
(2)$a_n = (\frac{1}{3})^{n - 1} + 3n - 2$ 解析
(2)设$a_{n + 1} + A(n + 1) + B = \frac{1}{3}(a_n + An + B)$，即$a_{n + 1} = \frac{1}{3}a_n - \frac{2}{3}A = 2$，
$A - \frac{2}{3}B = \frac{5}{3}$，
解得$\begin{cases} A = - 3, \\ B = 2. \end{cases}$若$a_n - 3n + 2 = 0$，则当$n = 1$时$a_1 = 1$，与$a_1 = 2$矛盾，所以$a_n - 3n + 2 \neq 0$。所以$\frac{a_{n + 1} - 3(n + 1) + 2}{a_n - 3n + 2} = \frac{1}{3}$。所以$\{ a_n - 3n + 2\}$是以$a_1 - 3 + 2 = 1$为首项，$\frac{1}{3}$为公比的等比数列。所以$a_n - 3n + 2 = (\frac{1}{3})^{n - 1}$，故$a_n = (\frac{1}{3})^{n - 1} + 3n - 2$。

(3)(2024·江苏盐城模拟)已知在数列$\{ a_n \}$中，$a_1 = 2$，$a_{n + 1} - 4a_n = 2^{n + 1}$，$n \in \mathbf{N}^*$，则$\{ a_n \}$的通项公式为$4^n - 2^n$.
题型二 形如$a_{n + 1} = pa_n + qa_{n - 1}$型(相邻项的差为特殊数列)

答案：
(3)$a_n = 4^n - 2^n$ 解析
(3)因为$a_{n + 1} = 2^{n - 1} + 4a_n$，所以$a_{n + 1} + 2^{n + 1} = 4a_n + 2^{n + 2} = 4(a_n + 2^n)$，即$\frac{a_{n + 1} + 2^{n + 1}}{a_n + 2^n} = 4$。因为$a_1 + 2 = 4$，所以数列$\{ a_n + 2^n\}$是以$4$为首项，$4$为公比的等比数列。所以$a_n + 2^n = 4 × 4^{n - 1} = 4^n$，即$a_n = 4^n - 2^n$。

例 4 (2024·江苏七市模拟)已知数列$\{ a_n \}$满足$a_1 = 1$，$a_2 = 5$，$a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n$.
证明：(1)$\{ a_{n + 1} - 2a_n \}$是等比数列；

答案： 例4 证明
(1)$\because a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n$，
$\therefore a_{n + 2} - 2a_{n + 1} = 5a_{n + 1} - 6a_n - 2a_{n + 1}$，
$\therefore a_{n + 2} - 2a_{n + 1} = 3a_{n + 1} - 6a_n = 3(a_{n + 1} - 2a_n)$，$a_2 - 2a_1 = 0$显然与$a_1 = 1$，$a_2 = 5$矛盾，$\therefore a_{n + 1} - 2a_n \neq 0$，
$\therefore \frac{a_{n + 2} - 2a_{n + 1}}{a_{n + 1} - 2a_n} = 3$，
$\therefore$数列$\{ a_{n + 1} - 2a_n\}$是以$a_2 - 2a_1 = 5 - 2 = 3$为首项，$3$为公比的等比数列。

(2)存在两个等比数列$\{ b_n \}$，$\{ c_n \}$，使得$a_n = b_n + c_n$成立.

答案：
(2)$a_n = 3^n - 2^n$ 解析
(2)$a_{n + 2} = 5a_{n + 1} - 6a_n$，$\therefore a_{n + 2} - 3a_{n + 1} = 5a_{n + 1} - 6a_n - 3a_{n + 1}$，$\therefore a_{n + 2} - 3a_{n + 1} = 2a_{n + 1} - 6a_n = 2(a_{n + 1} - 3a_n)$。
$a_{n + 1} - 3a_n = 0$显然与$a_1 = 1$，$a_2 = 5$矛盾，
$\therefore a_{n + 1} - 3a_n \neq 0$，
$\therefore \frac{a_{n + 2} - 3a_{n + 1}}{a_{n + 1} - 3a_n} = 2$，
$\therefore$数列$\{ a_{n + 1} - 3a_n\}$是以$a_2 - 3a_1 = 5 - 3 = 2$为首项$2$为公比的等比数列，$\therefore a_{n + 1} - 3a_n = 2^n$，①
又由
(1)知，$a_{n + 1} - 2a_n = 3^n$，②
② - ①，得$a_n = 3^n - 2^n$。
$\therefore$存在两个等比数列$\{ b_n \}$，$\{ c_n \}$，$b_n = 3^n$，$c_n = - 2^n$，使得$a_n = b_n + c_n$成立。