《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例6求下列函数的最值:
(1)f(x)=$\frac{2x}{+3}$,x∈[1,4];
x²,x≤1,
(2)f(x)={x

+

$\frac{6}{x}$

−6,x＞1;
(3)f(x)=$\sqrt{2−x}$−2x.

答案： 例6 解
(1)因为$f(x)=\frac{2x}{x + 3}=\frac{2x + 6 - 6}{x + 3}=2 - \frac{6}{x + 3},x\in[1,4]$.所以$f(x)$在$[1,4]$上单调递增,所以函数的最小值为$f(1)=\frac{1}{2}$,最大值为$f(4)=\frac{8}{7}$.
(2)当$x\leq1$时,$f(x)=x^2$有最小值0,无最大值;
当$x\gt1$时,$f(x)=x + \frac{6}{x}-6\geq2\sqrt{6}-6$,当且仅当$x = \sqrt{6}$时,等号成立,$f(x)$有最小值$2\sqrt{6}-6$,无最大值.因为$2\sqrt{6}-6\lt0$,所以函数$f(x)$的最小值为$2\sqrt{6}-6$,无最大值.
(3)函数$f(x)$定义域为$\{x\mid x\leq2\}$,令$\sqrt{2 - x}=t$,则$x = 2 - t^2,t\geq0$,故$y = \sqrt{2 - x}-2x = t - 2(2 - t^2)=t - 4 + 2t^2 = 2(t + \frac{1}{4})^2 - \frac{33}{8},t\geq0$,当$t = 0$时,$y$取得最小值$-4$,无最大值.

$\frac{2x+m}{x+1}$在区间[0,1]上的最大值为3,则实数m=
3.
提醒:完成课时规范练9(A册)

答案： 对点训练4 3 解析
∵函数$f(x)=\frac{2x + m}{x + 1}=2 + \frac{m - 2}{x + 1}$,当$m\gt2$时,函数$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递减,最大值为$f(0)=m = 3$;当$m\lt2$时,函数$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递增,最大值为$f(1)=\frac{2 + m}{2}=3$,即$m = 4$,不符合题意,故$m = 3$.

1. 函数的奇偶性

答案： 1. 对于偶函数：
定义：$f(-x)=f(x)$。
2. 对于奇函数：
定义：$f(-x)= - f(x)$。
故答案依次为：$f(-x)=f(x)$；$f(-x)= - f(x)$。

2. 函数的周期性
(1) 周期函数：一般地，对于函数$y = f(x)$，$x ∈ D$，如果存在一个非零常数$T$，使得对任意的$x ∈ D$都有$x + T ∈ D$，且$f(x + T) =$$f(x)$$f(x)$，那么函数$y =$$f(x)$就叫做周期函数. 非零常数$T$就叫做这个函数的周期.
(2) 最小正周期：如果在周期函数$y =$$f(x)$的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做$f(x)$的最小正周期（若不特别说明，$T$一般都是指最小正周期）.
微点拨 若$T$是函数$f(x)$的周期，那么$nT(n ∈ Z,n ≠ 0)$也是函数$f(x)$的周期.

答案： 2.
(1)$f(x)$　$T$　
(2)最小

1. 思考辨析(判断下列结论是否正确，正确的画“√”，错误的画“×”).
(1) 函数$f(x) = \frac{x^3 - x^2}{x - 1}$是偶函数. ( )
(2) 若$f(x)$是奇函数，则有$f(0) = 0$. ( )
(3) 若$f(x)$是奇函数，则$y = -|f(x)|$为偶函数. ( )
(4) 若$f(x)$满足$f(x - 1) = f(x + 2)$，则函数$f(x)$的周期为$3$. ( )

答案： 1.
(1)×　
(2)×　　
(3)√　
(4)√

2. 已知函数$f(x) = (x - 1)^2 + ax + 2$是偶函数，则实数$a$的值为__________.

答案： 2.2　解析(方法一)由题意得$f(1)=a+2$，$f(-1)=-a+6$，因为$f(x)$是偶函数，所以$f(1)=f(-1)$，即$a+2=-a+6$，解得$a=2$.
　(方法二)$f(x)=(x - 1)^{2}+ax + 2=x^{2}+(a - 2)x + 3$，因为$f(x)$是偶函数，所以$a - 2 = 0$，解得$a = 2$.

3. 已知函数$f(x)$是定义域为$R$的奇函数，当$x ≥ 0$时，$f(x) = x(1 + x)$，则$f(x)$的解析式为__________.

答案： 3.$f(x)=\begin{cases}x(1 + x),x\geq0\\x(1 - x),x\lt0\end{cases}$ 解析设$x\lt0$，则$-x\gt0$，于是$f(-x)=-x(1 - x)$，又因为$f(x)$是奇函数，所以$f(x)=-f(-x)=x(1 - x)$，故函数解析式为$f(x)=\begin{cases}x(1 + x),x\geq0\\x(1 - x),x\lt0\end{cases}$.

4. (2021·全国乙，理4) 设函数$f(x) = \frac{1 - x}{1 + x}$，则下列函数中为奇函数的是( )

A.$f(x - 1) - 1$
B.$f(x - 1) + 1$
C.$f(x + 1) - 1$
D.$f(x + 1) + 1$

答案： 4.B　　解析函数$f(x)=\frac{1 - x}{1 + x}=-1+\frac{2}{x + 1}$，故该函数图象的对称中心的坐标为$(-1,-1)$.将该函数图象向右平移$1$个单位长度，再向上平移$1$个单位长度后得到的图象对应的函数解析式为$g(x)=f(x - 1)+1$，其图象关于坐标原点对称，即为奇函数，故选B.

5. (2020·全国Ⅱ，理9) 设函数$f(x) = \ln|2x + 1| - \ln|2x - 1|$，则$f(x)$( )

A.是偶函数，且在$(\frac{1}{2}, +∞)$单调递增
B.是奇函数，且在$(-\frac{1}{2}, \frac{1}{2})$单调递减
C.是偶函数，且在$(-∞, -\frac{1}{2})$单调递增
D.是奇函数，且在$(-∞, -\frac{1}{2})$单调递减

答案： 5.D　解析由题意可知，$f(x)$的定义域为$\{x|x\neq\pm\frac{1}{2}\}$，关于原点对称.
　$\because f(x)=\ln|2x + 1| - \ln|2x - 1|$，
　$\therefore f(-x)=\ln|-2x + 1| - \ln|-2x - 1|=\ln|2x - 1| - \ln|2x + 1|=-f(x)$，
　$\therefore f(x)$为奇函数.
　当$x\in(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$时，$f(x)=\ln(2x + 1)-\ln(1 - 2x)$，$\therefore f^\prime(x)=\frac{2}{2x + 1}-\frac{-2}{1 - 2x}=\frac{4}{(2x + 1)(1 - 2x)}\gt0$.
　$\therefore f(x)$在区间$(-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$内单调递增.同理，$f(x)$在区间$(-\infty,-\frac{1}{2})$，$(\frac{1}{2},+\infty)$内单调递减，故选D.

例1 (1)(多选题)(2024·浙江绍兴模拟) 已知函数$f(x) = 2^x - 2^{-x}$，函数$g(x) = \cos 2x$，则下列结论中正确的是( )

A.$f(x)g(x)$是偶函数
B.$f(x) - |g(x)|$是奇函数
C.$|f(x)| + g(x)$是偶函数
D.$g(f(x))$是偶函数

答案： 例1　CD　解析
(1)易知函数$f(x)$，$g(x)$的定义域均为$R$，且分别为奇函数和偶函数.由于$f(-x)g(-x)=-f(x)g(x)$，所以$f(x)g(x)$是奇函数，故A错误；由于$f(-x)-|g(-x)|=-f(x)-|g(x)|\neq f(x)-|g(x)|\neq -[f(x)-|g(x)|]$，所以$f(x)-|g(x)|$是非奇非偶函数，故B错误；由于$|f(-x)|+g(-x)=|f(x)|+g(x)$，所以$|f(x)|+g(x)$是偶函数，故C正确；由于$g(f(-x))=g(f(x))$，所以$g(f(x))$是偶函数，故D正确，故选CD

(2) 判断下列函数的奇偶性：
① $f(x) = x^3 + \frac{1}{x - 2}$；
② $f(x) = \lg(4 - x^2)$；
③ $f(x) = \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{1 - x^2}$；
④ $f(x) = \begin{cases} -x^2 + 2x + 1, & x ＞ 0, \\ x^2 + 2x - 1, & x ＜ 0. \end{cases}$

答案：

(2)①函数的定义域为$\{x|x\neq2\}$，关于原点不对称，所以$f(x)$为非奇非偶函数；②由$4 - x^{2}\gt0$，解得$-2\lt x\lt2$，即$f(x)$的定义域是$(-2,2)$，关于原点对称.又$f(-x)=\lg[4 - (-x)^{2}]=\lg(4 - x^{2})=f(x)$，因此函数$f(x)$是偶函数；
③由题知，$f(x)$的定义域为$\{-1,1\}$，关于原点对称.又$f(-1)=f(1)=0$，$f(-1)=-f(1)=0$，所以$f(x)$既是奇函数又是偶函数；
　④(方法一　　定义法)当$x\gt0$时，$f(x)=-x^{2}+2x + 1$，$-x\lt0$，$f(-x)=(-x)^{2}+2(-x)-1=x^{2}-2x - 1=-f(x)$；当$x\lt0$时，$f(x)=x^{2}+2x - 1$，$-x\gt0$，$f(-x)=-(-x)^{2}+2(-x)+1=-x^{2}-2x + 1=-f(x)$.所以$f(x)$为奇函数.(方法二　　图象法)作出函数$f(x)$的图象，由奇函数的图象关于原点对称的特征知函数$f(x)$为奇函数.

对点训练1 (2024·山东烟台模拟) 下列函数中，与函数$f(x) = x\ln\frac{1 + x}{1 - x}$的奇偶性相同的是（ ）

A.$y = \frac{1}{x}$
B.$y = |x + 2| + |x - 2|$
C.$y = \sin x + \cos x$
D.$y = 2^x - (\frac{1}{2})^x$

答案： 对点训练1　B　解析由于$y=\ln\frac{1 + x}{1 - x}$，$y = x$是奇函数，所以$f(x)$是偶函数，选项A和D中的函数是奇函数，选项C中的函数是非奇非偶函数，只有选项B中的函数是偶函数，故选B.

例2 (1) (2023·全国乙，理4) 已知$f(x) = \frac{xe^x}{e^{ax} - 1}$是偶函数，则$a =$( )

A.$-2$
B.$-1$
C.$1$
D.$2$

答案： 例2　
(1)D　解析
(1)方法一:由题意，知函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.
　因为函数$f(x)$为偶函数，所以$f(-x)=f(x)$，即$\frac{-xe^{x}}{e^{x}-1}=\frac{xe^{-x}}{e^{-x}-1}$，整理得$e^{a}=e^{2x}$，所以$a = 2$.
　方法二:由题意，知函数$f(x)$的定义域为$(-\infty,0)\cup(0,+\infty)$.
　因为函数$f(x)$为偶函数，所以$f(-1)=f(1)$，即$\frac{-e^{-1}}{e^{-1}-1}=\frac{e^{1}}{e^{1}-1}$，整理得$e^{a}=e^{2}$，所以$a = 2$.故选D.

(2) (2020江苏，7) 已知$y = f(x)$是奇函数，当$x ≥ 0$时，$f(x) = x^{\frac{2}{3}}$，则$f(-8)$的值是__________.

答案：
(2)$-4$　解析$\because y = f(x)$是奇函数，
　$\therefore f(-8)=-f(8)=-8^{\frac{5}{3}}=-4$.

(3) (2024·安徽定远模拟) 已知函数$f(x)$是定义在$[-1,1]$上的奇函数，当$0 ＜ x ≤ 1$时，$f(x) = x(x - 1)$，则当$-1 ≤ x ＜ 0$时，$f(x) =$__________.

答案：
(3)$-x^{2}-x$ 解析
(3)设$-1\leq x\lt0$时，则$0\lt -x\leq1$，于是$f(-x)=-x(-x - 1)=x^{2}+x$，由于$f(x)$是定义在$[-1,1]$上的奇函数，所以$f(x)=-f(-x)=-x^{2}-x$.

例3 (1) (2024·山西朔州模拟) 已知函数$f(x)$满足$f(x + 3) = -f(x)$，当$x ∈ [-3,0)$时，$f(x) = 2^x$，则$f(2023) =$( )

A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\frac{3}{4}$
D.$\frac{1}{2}$

答案： 例3　
(1)B　解析
(1)因为$f(x + 6)=-f(x + 3)=f(x)$，所以$f(x)$的周期为$6$，所以$f(2023)=f(337×6 + 1)=f(1)=f(-2 + 3)=-f(-2)=-2^{-2}=-\frac{1}{4}$，故选B.

(2) (2024·江西萍乡模拟) 已知偶函数$f(x)$满足$f(x + 2) = f(x)$，且当$x ∈ [0,1]$时，$f(x) = \cos\frac{\pi}{2}x$，则$x ∈ [2023,2024]$时，$f(x)$的解析式为( )

A.$f(x) = \sin\frac{\pi}{2}x$
B.$f(x) = \sin\pi x$
C.$f(x) = \sin 2x$
D.$f(x) = \cos\frac{\pi}{2}x$

答案：
(2)D　解析
(2)因为$f(x + 2)=f(x)$，所以$f(x)$的周期为$2$.设$x\in[2023,2024]$，则$x - 2024\in[-1,0]$，因此$2024 - x\in[0,1]$，因为当$x\in[0,1]$时，$f(x)=\cos\frac{\pi}{2}x$，所以$f(2024 - x)=\cos\frac{\pi}{2}(2024 - x)=\cos(1012\pi-\frac{\pi}{2}x)=\cos\frac{\pi}{2}x$，又因为函数$f(x)$的周期为$2$，且为偶函数，所以$f(2024 - x)=f(-x)=f(x)$，故当$x\in[2023,2024]$时，$f(x)=\cos\frac{\pi}{2}x$，故选D.

例4 (1) (2024·广东东莞模拟) 已知函数$f(x) = x^2 + 2|x|$，则$f(x - 1) ＞ f(-1)$的解集为( )

A.$(2, +∞)$
B.$(-∞,0)$
C.$(0,2)$
D.$(-∞,0) \cup (2, +∞)$

答案： 例4　
(1)D　解析
(1)易知函数$f(x)$为偶函数，又当$x\gt0$时，$f(x)=x^{2}+2x$在区间$(0,+\infty)$上单调递增，所以由$f(x - 1)\gt f(-1)$得$f(|x - 1|)\gt f(1)$，因此$|x - 1|\gt1$，解得$x\gt2$或$x\lt0$，即不等式的解集为$(-\infty,0)\cup(2,+\infty)$，故选D.

(2) (2020·新高考Ⅰ，8) 若定义在$R$的奇函数$f(x)$在$(-∞,0)$单调递减，且$f(2) = 0$，则满足$xf(x - 1) ≥ 0$的$x$的取值范围是( )

A.$[-1,1] \cup [3, +∞)$
B.$[-3, -1] \cup [0,1]$
C.$[-1,0] \cup [1, +∞)$
D.$[-1,0] \cup [1,3]$

答案：
(2)D　解析
(2)不等式$xf(x - 1)\geq0$可化为$\begin{cases}x\geq0\\f(x - 1)\geq0\end{cases}$或$\begin{cases}x\leq0\\f(x - 1)\leq0\end{cases}$，$\because f(2)=0$，$\therefore f(-2)=0$.$\because f(x)$是$R$上的奇函数，$\therefore f(0)=0$.$\because f(x)$在区间$(-\infty,0)$上单调递减，$\therefore f(x)$在区间$(0,+\infty)$上也单调递减.$\therefore\begin{cases}x\geq0\\x - 1\geq0或x - 1\leq -2\end{cases}$或$\begin{cases}x\leq0\\x - 1\geq2或x - 1\leq -2\end{cases}$，解得$1\leq x\leq2$或$-1\leq x\leq0$或$x\leq -1$或$x\geq3$，$\therefore$满足$xf(x - 1)\geq0$的$x$的取值范围是$[-1,0]\cup[1,3]$，故选D.

例5 (2021·新高考Ⅱ，8) 已知函数$f(x)$的定义域为$R$，且$f(x + 2)$是偶函数，$f(2x + 1)$是奇函数，则（ ）

A.$f(-\frac{1}{2}) = 0$
B.$f(-1) = 0$
C.$f(2) = 0$
D.$f(4) = 0$

答案： 例5　B　解析(方法一)因为$f(2x + 1)$是奇函数，所以$f(-2x + 1)=-f(2x + 1)$，且有$f(2×0 + 1)=f(1)=0$，又因为$f(x + 2)$是偶函数，所以$f(x + 2)=f(-x + 2)$，令$x = 1$，代入得$f(3)=f(1)=0$，在$f(-2x + 1)=-f(2x + 1)$中，令$x = 1$代入得$f(-1)=-f(3)=0$，故一定有$f(-1)=0$，故选B.
　(方法二)因为$f(x + 2)$是偶函数，所以$f(x)$的图象关于直线$x = 2$对称，又因为$f(2x + 1)$是奇函数，所以$f(2x)$的图象关于点$(\frac{1}{2},0)$对称，从而$f(x)$的图象关于点$(1,0)$对称，于是函数$f(x)$的周期为$T = 4|2 - 1| = 4$.由于$f(2×0 + 1)=f(1)=0$，而$f(x + 2)$是偶函数，所以$f(x + 2)=f(-x + 2)$，令$x = 1$代入得$f(3)=f(1)=0$，因此$f(-1)=0$，故选B.
　(方法三)因为函数$f(x)$的定义域为$R$，且$f(x + 2)$是偶函数，$f(2x + 1)$是奇函数，所以可取$f(x)=\cos(\frac{\pi}{2}x)$，这时$f(-\frac{1}{2})=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$f(-1)=0$，$f(2)=-1$，$f(4)=1$，故选B.

对点训练2 (2024·江西赣州模拟) 已知定义在$R$上的奇函数$f(x)$，满足$f(x + 1)$是偶函数，且当$x ∈ (0,1]$时，$f(x) = x^2$，则$f(0) + f(1) + f(2) + \cdots + f(2023) =$（ ）

A.$-1$
B.$0$
C.$1$
D.$1012$

答案： 对点训练2　B　解析因为$f(x)$是定义在$R$上的奇函数，所以$f(x)=-f(-x)$①，且$f(0)=0$，又$f(x + 1)$是偶函数，所以$f(x + 1)=f(-x + 1)$，即$f(x)=f(2 - x)$②，所以$f(2)=f(0)=0$，由①②可得$-f(-x)=f(2 - x)$，所以$-f(2 - x)=f(4 - x)$，则$f(-x)=f(4 - x)$，则函数$f(x)$的周期为$4$.因为当$x\in(0,1]$时，$f(x)=x^{2}$，则$f(1)=1$，所以$f(-1)=-f(1)=-1=f(3)$，所以$f(0)+f(1)+f(2)+\cdots+f(2023)=506[f(0)+f(1)+f(2)+f(3)]=0$，故选B.

例6 (2024·陕西渭南模拟) 已知函数$f(x)$满足：① 定义域为$R$；② $f(x + 1)$为偶函数；③ $f(x + 2)$为奇函数；④ 对任意的$x_1,x_2 ∈ [0,1]$，且$x_1 ≠ x_2$，都有$(x_1 - x_2)(f(x_1) - f(x_2)) ＞ 0$，则$f(-\frac{7}{3})$，$f(\frac{2}{3})$，$f(\frac{11}{3})$的大小关系是（ ）

A.$f(-\frac{7}{3}) ＜ f(\frac{2}{3}) ＜ f(\frac{11}{3})$
B.$f(-\frac{7}{3}) ＜ f(\frac{11}{3}) ＜ f(\frac{2}{3})$
C.$f(\frac{11}{3}) ＜ f(-\frac{7}{3}) ＜ f(\frac{2}{3})$
D.$f(\frac{11}{3}) ＜ f(\frac{2}{3}) ＜ f(-\frac{7}{3})$
规律方法 函数的奇偶性、单调性、周期性、对称性是函数的四大性质，它们往往综合在一起命题，通常要借助函数的奇偶性及对称性获得函数的周期，通过奇偶性、对称性及周期性将单调区间进行转化，从而研究函数在整个定义域上的相关性质.

答案：
例6　C　解析$\because f(x + 1)$在$R$上为偶函数，$\therefore f(x + 1)=f(-x + 1)$，$\therefore f(x)$图象关于直线$x = 1$对称.
　$\because f(x + 2)$在$R$上为奇函数，$\therefore f(x + 2)+f(-x + 2)=0$，$\therefore f(x)$图象关于点$(2,0)$对称，且$f(2)=0$.
　又$f(x + 1)=f(-x + 1)$，$\therefore f(x)=f(-x + 2)$①，又$f(x + 2)+f(-x + 2)=0$，$\therefore f(-x + 2)=-f(x + 2)$②，由①②得$f(x)=-f(x + 2)$③，由③得$f(x + 2)=-f(x + 4)$④，由③④得$f(x)=f(x + 4)$，$\therefore f(x)$的一个周期为$T = 4$，且$f(0)=0$，$f(x)$图象关于$(0,0)$对称.
　又对任意$x_1$，$x_2\in[0,1]$，都有$(x_1 - x_2)(f(x_1)-f(x_2))\gt0$，$\therefore f(x)$在区间$[0,1]$上单调递增.可得函数$f(x)$在一个周期内的大致图象如下，
　　　　
　$\therefore f(-\frac{7}{3})=f(-\frac{7}{3}+4)=f(\frac{5}{3})=f(2 - \frac{5}{3})=f(\frac{1}{3})$，$f(\frac{11}{3})=f(\frac{11}{3}-4)=f(-\frac{1}{3})$，因此$f(-\frac{1}{3})\lt f(\frac{1}{3})\lt f(\frac{2}{3})$，故$f(\frac{11}{3})\lt f(-\frac{7}{3})\lt f(\frac{2}{3})$，故选C.

对点训练3 (多选题) (2024·河南洛阳模拟) 定义在$R$上的函数$f(x)$满足$f(x + y) = f(x) + f(y)$，$f(x + 2) = -f(x)$，且$f(x)$在区间$[-1,0]$上单调递增，则下列结论中正确的是（ ）

A.$f(x)$是周期函数
B.$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称
C.$f(x)$在$[1,2]$上单调递增
D.$f(2) = f(0)$

答案： 对点训练3　ABD　解析由于$f(x + y)=f(x)+f(y)$，取$x = y = 0$得$f(0)=0$；取$y = -x$，则有$f(x - x)=f(0)=f(x)+f(-x)=0$，即函数$f(x)$是$R$上的奇函数，由$f(x + 2)=-f(x)$，得$f(x + 4)=-f(x + 2)=f(x)$，因此函数$f(x)$是以$4$为周期的周期函数，故A正确；$f(x + 2)=-f(x)=f(-x)$，因此$f(x)$的图象关于直线$x = 1$对称，故B正确；因为$f(x)$在区间$[-1,0]$上单调递增，则$f(x)$在区间$[0,1]$上单调递增，于是得$f(x)$在区间$[1,2]$上单调递减，故C错误；由$f(x + 2)=-f(x)$，得$f(2)=-f(0)=0=f(0)$，故D正确，故选ABD.