《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例2 (1) (2024·陕西渭南检测) 不等式 $ \frac{4 - x}{2 + x} \geq 1 $ 的解集为$(-2,1]$。

答案： 例2
(1)$(-2,1]$

(2) (2024·河南郑州检测) 函数 $ f(x) = \sqrt{\log_{\frac{1}{3}} \frac{x - 1}{x + 1}} $ 的定义域为$(1,+\infty)$。

答案： 例2
(2)$(1,+\infty)$

(3) (2024·上海徐汇模拟) 不等式 $ \frac{x + 5}{x^2 + 2x + 3} \geq 1 $ 的解集为$[-2,1]$。

答案： 例2
(3)$[-2,1]$

例3 若 $ a ＞ 0 $，解关于 $ x $ 的不等式 $ ax^2 - 2(a + 1)x + 4 ＜ 0 $。当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$(2,\frac{2}{a})$，当$a = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$，当$a＞1$时，不等式的解集为$(\frac{2}{a},2)$
变式探究1
(变条件) 本例中，若“$ a ＞ 0 $”改为“$ a \in \mathbf{R} $”，再解不等式。当$a = 0$时，不等式的解集为$(2,+\infty)$，当$a＜0$时，不等式的解集为$(-\infty,\frac{2}{a})\cup(2,+\infty)$，当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$(2,\frac{2}{a})$，当$a = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$，当$a＞1$时，不等式的解集为$(\frac{2}{a},2)$
变式探究2
本例中，若条件不变，且关于 $ x $ 的不等式 $ ax^2 - 2(a + 1)x + 4 ＜ 0 $ 的解集中，只有 1 个整数，求实数 $ a $ 的取值范围。$[\frac{1}{2},\frac{2}{3})\cup(2,+\infty)$

答案： 例3 解 由于$ax^2 - 2(a + 1)x + 4＜0\Rightarrow(ax - 2)(x - 2)＜0$.
因为$a＞0$，所以不等式可化为$a(x - \frac{2}{a})(x - 2)＜0$，即$(x - \frac{2}{a})(x - 2)＜0$.
(1)当$\frac{2}{a}＞2$，即$0＜a＜1$时，解不等式得$2＜x＜\frac{2}{a}$；
(2)当$\frac{2}{a}=2$，即$a = 1$时，不等式即为$(x - 2)^2＜0$，无解；
(3)当$\frac{2}{a}＜2$，即$a＞1$时，解不等式得$\frac{2}{a}＜x＜2$.
综上所述，当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$(2,\frac{2}{a})$，当$a = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$，当$a＞1$时，不等式的解集为$(\frac{2}{a},2)$.
变式探究1 解$ax^2 - 2(a + 1)x + 4＜0\Rightarrow(ax - 2)(x - 2)＜0$.
当$a = 0$时，不等式可化为$-2(x - 2)＜0$，解不等式得$x＞2$；
当$a\neq0$时，不等式可化为$a(x - \frac{2}{a})(x - 2)＜0$.
若$a＜0$，则$(x - \frac{2}{a})(x - 2)＞0$，解不等式得$x＜\frac{2}{a}$或$x＞2$；
若$a＞0$，则$(x - \frac{2}{a})(x - 2)＜0$.
(1)当$\frac{2}{a}＞2$，即$0＜a＜1$时，解不等式得$2＜x＜\frac{2}{a}$；
(2)当$\frac{2}{a}=2$，即$a = 1$时，不等式即为$(x - 2)^2＜0$，无解；
(3)当$\frac{2}{a}＜2$，即$a＞1$时，解不等式得$\frac{2}{a}＜x＜2$.
综上所述，当$a = 0$时，不等式的解集为$(2,+\infty)$，当$a＜0$时，不等式的解集为$(-\infty,\frac{2}{a})\cup(2,+\infty)$，当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$(2,\frac{2}{a})$，当$a = 1$时，不等式的解集为$\varnothing$，当$a＞1$时，不等式的解集为$(\frac{2}{a},2)$.
变式探究2 解 由例3的解答知，当$0＜a＜1$时，不等式的解集为$(2,\frac{2}{a})$，若解集中只含有1个整数，则有$3＜\frac{2}{a}\leq4$，解得$\frac{1}{2}\leq a＜\frac{2}{3}$；当$a＞1$时，不等式的解集为$(\frac{2}{a},2)$，若解集中只含有1个整数，则有$0＜\frac{2}{a}＜1$，解得$a＞2$.
综上，实数$a$的取值范围是$[\frac{1}{2},\frac{2}{3})\cup(2,+\infty)$.

解关于 $ x $ 的不等式 $ x^2 - 2mx + m + 1 ＞ 0 $。

答案： 对点训练1 解 不等式对应方程$x^2 - 2mx + m + 1 = 0$的判别式$\Delta = (-2m)^2 - 4(m + 1) = 4(m^2 - m - 1)$.
(1)当$\Delta＞0$，即$m＞\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$或$m＜\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$时，由于方程$x^2 - 2mx + m + 1 = 0$的根是$x = m\pm\sqrt{m^2 - m - 1}$，所以不等式的解集是$(-\infty,m - \sqrt{m^2 - m - 1})\cup(m + \sqrt{m^2 - m - 1},+\infty)$；
(2)当$\Delta = 0$，即$m = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$时，不等式的解集为$(-\infty,m)\cup(m,+\infty)$；
(3)当$\Delta＜0$，即$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}＜m＜\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$时，不等式的解集是$\mathrm{R}$.
综上所述，当$m＞\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$或$m＜\frac{1 - \sqrt{5}}{2}$时，不等式的解集是$(-\infty,m - \sqrt{m^2 - m - 1})\cup(m + \sqrt{m^2 - m - 1},+\infty)$；当$m = \frac{1\pm\sqrt{5}}{2}$时，不等式的解集为$(-\infty,m)\cup(m,+\infty)$；当$\frac{1 - \sqrt{5}}{2}＜m＜\frac{1 + \sqrt{5}}{2}$时，不等式的解集为$\mathrm{R}$.