《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

[对点训练 2](2024·上海南洋模范中学模拟)某高科技企业研制出一种型号为 $A$ 的精密数控车床，$A$ 型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为 $A$ 型车床所创造价值的第一年). 若第 $1$ 年 $A$ 型车床创造的价值是 $250$ 万元，且第 $1$ 年至第 $6$ 年，每年 $A$ 型车床创造的价值减少 $30$ 万元；从第 $7$ 年开始，每年 $A$ 型车床创造的价值是上一年创造的价值的 $50\%$. 现用 $a_n(n \in \mathbf{N}^*)$ 表示 $A$ 型车床在第 $n$ 年创造的价值.
(1) 求数列 $\{a_n\}(n \in \mathbf{N}^*)$ 的通项公式 $a_n$；
(2) 记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项的和，$T_n = \frac{S_n}{n}$，企业经过成本核算，若 $T_n ＞ 100$ 万元，则继续使用 $A$ 型车床，否则更换 $A$ 型车床，试问该企业须在第几年年初更换 $A$ 型车床？解 (1)由题意得$a_{1},a_{2},\cdots,a_{6}$构成首项$a_{1} = 250$，公差$d = - 30$的等差数列.故$a_{n} = 280 - 30n(n \leqslant 6,n \in N^{*})$.$a_{7},a_{8},\cdots,a_{n}(n \geqslant 7,n \in N^{*})$构成首项$a_{7} = \frac{1}{2}a_{6} = 50$，公比$q = \frac{1}{2}$的等比数列，故$a_{n} = 50 × (\frac{1}{2})^{n - 7}(n \geqslant 7,n \in N^{*})$.于是$a_{n} = \begin{cases} 280 - 30n,1 \leqslant n \leqslant 6, \\ 50 × (\frac{1}{2})^{n - 7},n \geqslant 7 \end{cases}(n \in N^{*})$.(2)由(1)得$\{ a_{n}\}$是递减数列，于是数列$\{ T_{n}\}$也是递减数列.当$1 \leqslant n \leqslant 6$时，$T_{n} = \frac{S_{n}}{n} = 265 - 15n$，$T_{6} = 175 ＞ 100$，所以$T_{n} ＞ 100$；当$n \geqslant 7$时，$T_{n} = \frac{S_{n}}{n} = \frac{1050 + 100 × [1 - (\frac{1}{2})^{n - 6}]}{n} = \frac{1150 - \frac{100}{2^{n - 6}}}{n}$.当$n = 11$时，$T_{11} ＞ 104$；当$n = 12$时，$T_{12} ＜ 96$.所以当$n \geqslant 12,n \in N^{*}$时，恒有$T_{n} ＜ 96$.故该企业需要在第12年年初更换A型车床.

答案： 对点训练2 解
(1)由题意得$a_{1},a_{2},\cdots,a_{6}$构成首项$a_{1} = 250$，公差$d = - 30$的等差数列.故$a_{n} = 280 - 30n(n \leqslant 6,n \in N^{*})$.$a_{7},a_{8},\cdots,a_{n}(n \geqslant 7,n \in N^{*})$构成首项$a_{7} = \frac{1}{2}a_{6} = 50$，公比$q = \frac{1}{2}$的等比数列，故$a_{n} = 50 × (\frac{1}{2})^{n - 7}(n \geqslant 7,n \in N^{*})$.
于是$a_{n} = \begin{cases} 280 - 30n,1 \leqslant n \leqslant 6, \\ 50 × (\frac{1}{2})^{n - 7},n \geqslant 7 \end{cases}(n \in N^{*})$.
(2)由
(1)得$\{ a_{n}\}$是递减数列，于是数列$\{ T_{n}\}$也是递减数列.
当$1 \leqslant n \leqslant 6$时，$T_{n} = \frac{S_{n}}{n} = 265 - 15n$，$T_{6} = 175 ＞ 100$，所以$T_{n} ＞ 100$；
当$n \geqslant 7$时，$T_{n} = \frac{S_{n}}{n} = \frac{1050 + 100 × [1 - (\frac{1}{2})^{n - 6}]}{n} = \frac{1150 - \frac{100}{2^{n - 6}}}{n}$.
当$n = 11$时，$T_{11} ＞ 104$；
当$n = 12$时，$T_{12} ＜ 96$.
所以当$n \geqslant 12,n \in N^{*}$时，恒有$T_{n} ＜ 96$.
故该企业需要在第12年年初更换A型车床.

例 3(2024·江西五市九校第二次联考)如图为“杨辉三角”示意图，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且记该数列前 $n$ 项和为 $S_n$，设 $b_n = \sqrt{5\log_2(S_n + 1) - 1}$，将数列 $\{b_n\}$ 中的整数项依次取出组成新的数列记为 $\{c_n\}$，则 $c_{2023}$ 的值为(B)

A.$5052$
B.$5057$
C.$5058$
D.$5063$

答案： 例3 B 解析 由题意，得$S_{n} = 2^{0} + 2^{1} + \cdots + 2^{n - 1} = 2^{n} - 1$，所以$b_{n} = \sqrt{5\log_{2}(S_{n} + 1) - 1} = \sqrt{5n - 1}$，则数列$\{ b_{n}\}$即为$\sqrt{4},\sqrt{9},\sqrt{14},\sqrt{19},\cdots$，其整数项为$\sqrt{4},\sqrt{9},\sqrt{49},\sqrt{64},\cdots$，即2,3,7,8,12,13,…，所以$\{ c_{n}\}$的奇数项是以2为首项，以5为公差的等差数列，则$c_{2n - 1} = 2 + 5(n - 1) = 5n - 3$；$\{ c_{n}\}$的偶数项是以3为首项，以5为公差的等差数列，则$c_{2n} = 3 + 5(n - 1) = 5n - 2$，所以$c_{2023} = \frac{5 × 1012 - 3}{5 × 1012 - 3} = 5057$.