《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

(2024·江苏徐州模拟) 已知“$ \exists x \in [1, 2], x^2 + tx + 2t - 3 ＞ 0 $”为假命题，则实数 $ t $ 的取值范围是$(-\infty,-\frac{1}{4})$。

答案： 对点训练4 $(-\infty,-\frac{1}{4})$ 解析 依题意，该命题的否定“$\forall x\in[1,2],x^2 + tx + 2t - 3\leq0$”为真命题.
设$f(x) = x^2 + tx + 2t - 3$，则需满足$\begin{cases}f(1) = 1 + t + 2t - 3\leq0,\\f(2) = 4 + 2t + 2t - 3\leq0,\end{cases}$解得$t\leq-\frac{1}{4}$.

例7 (2024·浙江温州模拟) 已知 $ a \in [-1, 1] $ 时，不等式 $ x^2 + (a - 4)x + 4 - 2a ＞ 0 $ 恒成立，则 $ x $ 的取值范围为(C)

A.$ (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) $
B.$ (-\infty, 1) \cup (2, +\infty) $
C.$ (-\infty, 1) \cup (3, +\infty) $
D.$ (1, 3) $

答案： 例7 C 解析$a\in[-1,1]$时，不等式$x^2 + (a - 4)x + 4 - 2a＞0$恒成立，可转化为关于$a$的函数$f(a) = (x - 2)a + x^2 - 4x + 4＞0$对任意$a\in[-1,1]$恒成立，则满足$\begin{cases}f(-1) = x^2 - 5x + 6＞0,\\f(1) = x^2 - 3x + 2＞0,\end{cases}$解得$x＜1$或$x＞3$，即$x$的取值范围为$(-\infty,1)\cup(3,+\infty)$.

(2024·重庆万州模拟) 若命题“$ \exists a \in [-1, 3], ax^2 - (2a - 1)x + 3 - a ＜ 0 $”为假命题，则实数 $ x $ 的取值范围为(C)

A.$ [-1, 4] $
B.$ [0, \frac{5}{3}] $
C.$ [-1, 0] \cup [\frac{5}{3}, 4] $
D.$ [-1, 0) \cup (\frac{5}{3}, 4] $
提醒：完成课时规范练 6(B 册)

答案： 对点训练5 C 解析 命题“$\exists a\in[-1,3],ax^2 - (2a - 1)x + 3 - a＜0$”为假命题，其否定为真命题，即“$\forall a\in[-1,3],ax^2 - (2a - 1)x + 3 - a\geq0$”为真命题.
则$g(a) = ax^2 - 2ax + x + 3 - a = (x^2 - 2x - 1)a + x + 3\geq0$，$a\in[-1,3]$恒成立，所以$\begin{cases}g(-1)\geq0,\\g(3)\geq0,\end{cases}$即$\begin{cases}-x^2 + 3x + 4\geq0,\\3x^2 - 5x\geq0,\end{cases}$
解得$\begin{cases}-1\leq x\leq4,\\x\geq\frac{5}{3}或x\leq0,\end{cases}$
所以实数$x$的取值范围为$[-1,0]\cup[\frac{5}{3},4]$.

例1 (1)若关于$x$的方程$ax^{2} - 2ax + 1 = 0$有两个不同的正根，则实数$a$的取值范围是(C)

A.$(0,1)$
B.$(0,+\infty)$
C.$(1,+\infty)$
D.$(-\infty,0)$

答案：
(1)C

(2)若一元二次方程$kx^{2} + 3kx + k - 3 = 0$的两根都是负数，则$k$的取值范围为$\left(-\infty,-\frac{12}{5}\right]\cup(3,+\infty)$.

答案：
(2)$\left(-\infty,-\frac{12}{5}\right]\cup(3,+\infty)$

[对点训练1]若一元二次方程$(2m + 1)x^{2} - 2mx + (m - 1) = 0$有一正根和一负根，则实数$m$的取值范围为$\left(-\frac{1}{2},1\right)$.

答案： 对点训练1 $\left(-\frac{1}{2},1\right)$ 解析 令$f(x)=(2m + 1)x^{2}-2mx+(m - 1)$，由题意得，$\frac{m - 1}{2m + 1}＜0$，即$(2m + 1)(m - 1)＜0$，解得$-\frac{1}{2}＜m＜1$。