《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例2 如图，点$P$在由射线$OD$、线段$OA$，线段$BA$的延长线所围成的平面区域内(包括边界)，且$OD$与$BA$平行. 若$\overrightarrow{OP} = x\overrightarrow{OB} + y\overrightarrow{OA}$，则当$x = -\frac{1}{2}$时，$y$的取值范围是(D)

A.$[0, 1]$
B.$\left[-\frac{1}{2}, 1\right]$
C.$\left[-\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$
D.$\left[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right]$

答案：
例2 D 解析因为$OD// AB$，$\overrightarrow{OP}=x\overrightarrow{OB}+y\overrightarrow{OA}$，由向量加法的平行四边形法则，可知OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以直线OA与OB为两邻边所在直线的四边形，作$\overrightarrow{OC}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}$，$CF// AO$交OD于点E，交BA于点F，所以当$x=-\frac{1}{2}$时，要使点P落在指定区域内，点P应落在线段EF上，$CE=\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}$，$CF=\frac{3}{2}\overrightarrow{OA}$，因此y的取值范围为$[\frac{1}{2},\frac{3}{2}]$。故选D。

例3 (2022·新高考Ⅰ，3)在$\triangle ABC$中，点$D$在边$AB$上，$BD = 2DA$. 记$\overrightarrow{CA} = \boldsymbol{m}$，$\overrightarrow{CD} = \boldsymbol{n}$，则$\overrightarrow{CB} =$(B)

A.$3\boldsymbol{m} - 2\boldsymbol{n}$
B.$-2\boldsymbol{m} + 3\boldsymbol{n}$
C.$3\boldsymbol{m} + 2\boldsymbol{n}$
D.$2\boldsymbol{m} + 3\boldsymbol{n}$

答案： 例3 B 解析(方法一)因为$BD = 2DA$，所以$\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{DA}$，即$\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CB}=2(\overrightarrow{CA}-\overrightarrow{CD})$，所以$\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CD}=-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$。故选B。
(方法二)因为$BD = 2DA$，所以$\overrightarrow{CD}=\frac{2}{3}\overrightarrow{CA}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，于是$\overrightarrow{CB}=-2\overrightarrow{CA}+3\overrightarrow{CD}=-2\boldsymbol{m}+3\boldsymbol{n}$。故选B。

例4 (2024·江苏南通等八市模拟)在平行四边形$ABCD$中，$\overrightarrow{BE} = \frac{1}{2}\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{AF} = \frac{1}{3}\overrightarrow{AE}$. 若$\overrightarrow{AB} = m\overrightarrow{DF} + n\overrightarrow{AE}(m, n \in \mathbf{R})$，则$m + n =$(D)

A.$\frac{1}{2}$
B.$\frac{3}{4}$
C.$\frac{5}{6}$
D.$\frac{4}{3}$

答案：
例4 D 解析由题意可得$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AE}+\overrightarrow{EB}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}\overrightarrow{DA}=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{DF}+\overrightarrow{FA})=\overrightarrow{AE}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{DF}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AE})=\frac{1}{2}\overrightarrow{DF}+\frac{5}{6}\overrightarrow{AE}$，所以$m=\frac{1}{2}$，$n=\frac{5}{6}$，所以$m + n=\frac{4}{3}$。

(1)(2024·云南曲靖模拟)已知向量$\boldsymbol{a}$，$\boldsymbol{b}$，$\boldsymbol{c}$在正方形网格中的位置如图，则$\boldsymbol{c} =$(C)


A.$2\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b}$
B.$2\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b}$
C.$-\boldsymbol{a} + 2\boldsymbol{b}$
D.$\boldsymbol{a} - 2\boldsymbol{b}$

答案：

(1)C 解析
(1)如图，根据向量的线性运算的几何意义，可得$\boldsymbol{c}=-\boldsymbol{a}+2\boldsymbol{b}$。