《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

已知数列$\{ a_{n}\} $ 和$\{ b_{n}\} $ 满足:$ a_{1} = \lambda $,$ a_{n + 1} = \frac{2}{3}a_{n} + n - 4 $,$ b_{n} = (- 1)^{n}(a_{n} - 3n + 21) $,其中 $ n \in \mathbf{N}^{*} $,$\lambda $ 为实数.
(1) 对于任意实数 $ \lambda $,证明:数列$\{ a_{n}\} $ 不是等比数列;
(2) 试判断数列$\{ b_{n}\} $ 是否为等比数列,并证明你的结论.

答案：
(1) 假设数列$\{a_n\}$是等比数列，由$a_1=\lambda$，得$a_2=\frac{2}{3}\lambda-3$，$a_3=\frac{4}{9}\lambda-4$。若为等比数列，则$a_2^2=a_1a_3$。计算得$a_2^2=(\frac{2}{3}\lambda-3)^2=\frac{4}{9}\lambda^2-4\lambda+9$，$a_1a_3=\lambda(\frac{4}{9}\lambda-4)=\frac{4}{9}\lambda^2-4\lambda$，显然$a_2^2\neq a_1a_3$，矛盾，故$\{a_n\}$不是等比数列。
(2) $b_n=(-1)^n(a_n-3n+21)$，则$b_{n+1}=(-1)^{n+1}(a_{n+1}-3(n+1)+21)$。由$a_{n+1}=\frac{2}{3}a_n+n-4$，代入得$a_{n+1}-3n+18=\frac{2}{3}(a_n-3n+21)$，故$b_{n+1}=(-1)^{n+1}\cdot\frac{2}{3}(a_n-3n+21)=-\frac{2}{3}(-1)^n(a_n-3n+21)=-\frac{2}{3}b_n$。又$b_1=-(\lambda+18)$，当$\lambda=-18$时，$b_n=0$，不是等比数列；当$\lambda\neq-18$时，$b_n\neq0$，公比为$-\frac{2}{3}$，是等比数列。综上，当$\lambda=-18$时，$\{b_n\}$不是等比数列；当$\lambda\neq-18$时，$\{b_n\}$是等比数列。

例 3 (1)(2023·全国乙,理 15)已知$\{ a_{n}\} $ 为等比数列,$ a_{2}a_{4}a_{5} = a_{3}a_{6} $,$ a_{9}a_{10} = - 8 $,则 $ a_{7} =$$-2$.

答案：
(1)$-2$ 解析
(1)(方法一)设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，则由$a_2a_3a_5 = a_3a_6,a_9a_{10} = -8$，得$\{a_1q \cdot a_1q^2 \cdot a_1q^4 = a_1q^2 \cdot a_1q^5 \cdot a_1q^8,a_1q^8 \cdot a_1q^9 = -8\}$，可得$\{a_1^3q^7 = a_1^3q^{15},a_1^2q^{17} = -8\}$，$\{a_1^3q^7(1 - q^8) = 0,a_1^2q^{17} = -8\}$，$\because a_1 \neq 0$，$\therefore q^8 = 1$，$\therefore a_1^2q^{17} = a_1^2q \cdot q^{16} = a_1^2q = -8$，$\therefore \{q = -2,a_1^2 = 4\}$，所以$a_7 = a_1q^6 = a_1q \cdot q^5 = -2$.
(方法二)设$\{a_n\}$的公比为$q$.由$a_2a_4a_5 = a_3a_6$，可得$a_2 = 1$.又因为$a_9a_{10} = a_2q^7 \cdot a_2q^8 = -8$，即$q^{15} = -8$，得$q^5 = -2$，$a_7 = a_2 \cdot q^5 = -2$.

(2)(2024·河北保定模拟)若数列$\{ a_{n}\} $ 为等比数列,$ a_{1} + a_{17} = - 6 $,$ a_{5}a_{13} = 6 $,则 $ a_{9} =$$-\sqrt{6}$.

答案：
(2)$-\sqrt{6}$ 解析
(2)根据等比数列的性质知$a_5a_{13} = a_2^2 = 6$，所以$a_9 = \pm \sqrt{6}$.又$a_1 + a_{17} = a_1(1 + q^{16}) = -6 ＜ 0$，所以$a_1 ＜ 0$，所以$a_9 = a_1q^8 ＜ 0$，所以$a_9 = -\sqrt{6}$.

例 4 (1)(2023·新高考Ⅱ,8)记 $ S_{n} $ 为等比数列$\{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和,若 $ S_{4} = - 5 $,$ S_{6} = 21S_{2} $,则 $ S_{8} =$(C)

A.$ 120 $
B.$ 85 $
C.$ - 85 $
D.$ - 120 $

答案：
(1)C 解析
(1)(方法一)若$q = 1$，则$S_6 = 21S_2$，不满足$S_6 = 21S_2$，所以$q \neq 1$.若$q = -1$，则$S_6 = 0 \neq -5$，所以$q \neq -1$.由$S_6 = 21S_2$得$\frac{a_1(1 - q^6)}{1 - q} = 21\frac{a_1(1 - q^2)}{1 - q}$，所以$1 - q^6 = 21(1 - q^2)$，则$(1 - q^2)(1 + q^2 + q^4) = 21(1 - q^2)$，则$q^4 + q^2 - 20 = 0$，解得$q^2 = 4$或$q^2 = -5$(舍去).由已知$S_4 = \frac{a_1(1 - q^4)}{1 - q} = -5$，则$S_8 = \frac{a_1(1 - q^8)}{1 - q} = \frac{a_1(1 - q^4)(1 + q^4)}{1 - q} = -85$.故选C.
(方法二)设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，因为$S_4 = -5,S_6 = 21S_2$，所以$q \neq -1$，否则$S_4 = 0$.从而$S_2,S_4 - S_2,S_6 - S_4,S_8 - S_6$成等比数列，所以有$(-5 - S_2)^2 = S_2(21S_2 + 5)$，解得$S_2 = -1$，或$S_2 = \frac{5}{4}$，
当$S_2 = -1$时，$S_2,S_4 - S_2,S_6 - S_4,S_8 - S_6$，即为$-1,-4,-16,S_8 + 21$，易知$S_8 + 21 = -64$，即$S_8 = -85$；当$S_2 = \frac{5}{4}$时，$S_4 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 = (a_1 + a_2)(1 + q^2) = (1 + q^2)S_2 ＞ 0$，与$S_4 = -5$矛盾，舍去.综上，$S_8 = -85$.

(2) 已知正项等比数列$\{ a_{n}\} $ 共有 $ 2n $ 项,它的所有项的和是奇数项的和的 $ 3 $ 倍,则公比 $ q =$2.

答案：
(2)2 解析
(2)设等比数列$\{a_n\}$的奇数项之和为$S_奇$，偶数项之和为$S_偶$，则$S_偶 = a_2 + a_4 + \cdots + a_{2n} = a_1q + a_3q + \cdots + a_{2n - 1}q = q(a_1 + a_3 + \cdots + a_{2n - 1}) = qS_奇$，由$S_n = 3S_偶$，得$(1 + q)S_奇 = 3qS_奇$，因为$a_n ＞ 0$，所以$S_奇 ＞ 0$，因此$1 + q = 3q$，$q = 2$.

解题策略
等比数列性质应用易错警示
(1) 在等比数列中,所有奇数项的符号相同,所有偶数项的符号也相同,在运用等比数列性质求某一项的值时,注意根据这一性质进行判断取舍.
(2) 公比不为 $ - 1 $ 的等比数列前 $ n $ 项和的性质:$ S_{n} $,$ S_{2n} - S_{n} $,$ S_{3n} - S_{2n} $,$\cdots$ 也构成等比数列,且公比为 $ q^{n} $,若 $ n $ 为偶数,则等比数列 $ S_{n} $,$ S_{2n} - S_{n} $,$ S_{3n} - S_{2n} $,$\cdots$ 的公比 $ q^{n} ＞ 0 $,注意根据这一隐含条件对所得结果进行分析判断并取舍.

答案： (按照实际选择题选项填入，假设求$S_9 - S_6$值对应选项)D

(1)(2024·安徽安庆一中模拟)在等比数列$\{ a_{n}\} $ 中,$ a_{2}a_{3}a_{4} = 4 $,$ a_{5}a_{6}a_{7} = 16 $,则 $ a_{8}a_{9}a_{10} =$ (D)

A.$ 4 $
B.$ 8 $
C.$ 32 $
D.$ 64 $

答案：
(1)D 解析
(1)由$a_2a_3a_4 = 4,a_5a_6a_7 = 16$可得$a_3^3 = 4,a_6^3 = 16$，又$a_2^2 = a_3a_4$，故$a_3^3 = a_2^2a_4$，则$16^3 = 4a_6^3$，解得$a_3 = 64$，即$a_3a_6a_9 = a_3^3 = 64$.

(2)(2024·河北沧州模拟)已知等比数列$\{ a_{n}\} $ 的前 $ n $ 项和为 $ S_{n} $,若 $ S_{3} = 2 $,$ S_{6} = 6 $,则 $ S_{24} =$510.
提醒:完成课时规范练 39(A 册)

答案：
(2)510 解析
(2)因为数列$\{a_n\}$为等比数列，又$q \neq 1$，由等比数列的性质知，$S_3,S_6 - S_3,S_9 - S_6, \cdots,S_{24} - S_{21}, \cdots$构成首项为$S_3 = 2$，公比为$\frac{S_6 - S_3}{S_3} = \frac{6 - 2}{2} = 2$的等比数列，且$S_{24}$是该等比数列的前8项和，所以$S_{24} = \frac{2(1 - 2^8)}{1 - 2} = 510$.