《2025年高考总复习优化设计高中数学北师大版》

例3（2024·湖北随州模拟）已知函数$f(x) = (m + 1)x^2 - mx - 1(m \in \mathbf{R})$在区间$(0, +\infty)$上单调递增，则实数$m$的取值范围为__________.
变式探究1
(变条件)本例中，函数解析式不变，若函数在区间$[1, 2]$上单调递减，则实数$m$的取值范围为( - \infty, - 2].
变式探究2
(变条件)本例中，函数解析式不变，若函数在区间$[-3, -2]$上不单调，则实数$m$的取值范围为( - \frac {6}{7}, - \frac {4}{5}).
变式探究3
（变条件）本例中，若函数解析式不变，且对于任意的$x_1, x_2 \in (0, +\infty)$，当$x_1 \neq x_2$时都有$\dfrac{f(x_1) - f(x_2)}{x_1 - x_2} ＞ -2$，求实数$m$的取值范围.

答案： 例3 [ - 1,0] 解析 若 m + 1 = 0，则
m = - 1，此时 f(x) = x - 1，在区间
$(0, + \infty) $上单调递增，符合题意；若
$m \neq - 1，$依题意应有$ \begin{cases} m + 1 ＞ 0, \\ - \frac { - m}{ - 2(m + 1)} \leq 0, \end{cases} $解
得$ - 1 ＜ m \leq 0.$
综上所述，实数 m 的取值范围为 [ - 1,0].
变式探究$1 ( - \infty, - 2] $解析 若 m + 1 =
0，则 m = - 1，此时 f(x) = x - 1，在区间
[1,2] 上单调递增，不符合题意；
若 m + 1 ＞ 0，即 m ＞ - 1 时，依题意应有
$\begin{cases} m ＞ - 1, \\ - \frac { - m}{ - 2(m + 1)} \geq 2, \end{cases} $解得$ \begin{cases} m ＞ - 1, \\ m \leq - \frac {4}{3}, \end{cases} $无解；
若 m + 1 ＜ 0，即 m ＜ - 1 时，依题意应有
$\begin{cases} m ＜ - 1, \\ - \frac { - m}{ - 2(m + 1)} \leq 1, \end{cases} $解 得$ \begin{cases} m ＜ - 1, \\ m \leq - 2, \end{cases}$
$m \leq - 2.$
综上所述，实数 m 的取值范围为
$( - \infty, - 2].$
变式探究$2 ( - \frac {6}{7}, - \frac {4}{5}) $解析 若 m +
1 = 0，则 m = - 1，此时 f(x) = x - 1，在
[ - 3, - 2] 上单调递增，不符合题意；若
$m + 1 \neq 0，$则应有$ - 3 ＜ \frac { - m}{ - 2(m + 1)} ＜ - 2，$
解得$ - \frac {6}{7} ＜ m ＜ - \frac {4}{5}，$因此实数 m 的取
值范围为$ ( - \frac {6}{7}, - \frac {4}{5}).$
变式探究3 解 不妨设 x_ {1} ＞ x_ {2}，则
$\frac {f(x_ {1}) - f(x_ {2})}{x_ {1} - x_ {2}} ＞ - 2 $可化为 f(x_ {1}) -
f(x_ {2}) ＞ - 2(x_ {1} - x_ {2})，即 f(x_ {1}) + 2x_ {1} ＞
f(x_ {2}) + 2x_ {2}，若令 g(x) = f(x) + 2x =
(m + 1)x^ {2} - (m - 2)x - 1，则 g(x) 在区
间$ (0, + \infty) $上单调递增.
①若 m + 1 = 0，则 m = - 1，此时 g(x) =
3x - 1，在区间$ (0, + \infty) $上单调递增，符
合题意；
②若$ m \neq - 1，$依题意应有
$\begin{cases} m + 1 ＞ 0, \\ - \frac { - (m - 2)}{ - 2(m + 1)} \leq 0, \end{cases} $解得$ - 1 ＜ m \leq 2.$
综上所述，实数 m 的取值范围为 [ - 1,2].

例4(2024·湖北武汉联考)已知函数$y = ax^2 - 2ax + 1 + b(a ＞ 0)$.
(1) 若$a = b = 1$，求$y$在$[t, t + 1]$上的最大值；
(2) 若函数在区间$[2, 4]$上的最大值为$9$，最小值为$1$，求实数$a, b$的值.

答案： 例4 解
(1)当 a = b = 1 时，函数化为 y =
x^ {2} - 2x + 2，其图象的对称轴为直线 x =
1，而$ \frac {t + t + 1}{2} = t + \frac {1}{2}.$
①当$ t + \frac {1}{2} \leq 1，$即$ t \leq \frac {1}{2} $时，函数在 x = t
时取得最大值 t^ {2} - 2t + 2；
②当$ t + \frac {1}{2} ＞ 1，$即$ t ＞ \frac {1}{2} $时，函数在 x =
t + 1 时取得最大值 (t + 1)^ {2} - 2(t + 1) +
2 = t^ {2} + 1.
综上，当$ t \leq \frac {1}{2} $时，最大值为 t^ {2} - 2t + 2；
当$ t ＞ \frac {1}{2} $时，最大值为 t^ {2} + 1.
(2)因为函数的图象开口向上，且对称轴
方程为$ x = 1 \notin [2,4]，$所以函数在区间
[2,4] 上单调递增，所以当 x = 2 时，y
取得最小值 b + 1；当 x = 4 时，y 取得最大值
16a - 8a + 1 + b = 8a + 1 + b.
由题意，可得$ \begin{cases} b + 1 = 1, \\ 8a + b + 1 = 9, \end{cases} $解得$ \begin{cases} a = 1, \\ b = 0. \end{cases}$