《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

16.(15分)已知函数$f(x)=a(x^{2}-\ln x)+(1 - 2a^{2})x (a\geq0)$.
　　(1)若$x = 1$是函数$y = f(x)$的极值点,求$a$的值;
　　(2)求函数$y = f(x)$的单调区间.

答案： 16.利用导数研究函数单调性和极值
解:
(1)第1步:求函数定义域并对f(x)求导
函数定义域为(0,+∞),f'(x)=$\frac{2ax^{2}+(1 - 2a^{2})x - a}{x}$.(2分)
第2步:根据x=1是函数y=f(x)的极值点求出a的值
因为x=1是函数y=f(x)的极值点,
所以f'
(1)=1 + a - 2a²=0,解得a=-$\frac{1}{2}$或a=1,
因为a≥0,所以a=1.　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
第3步:对所求的a值进行验证
此时f'(x)=$\frac{2x^{2}-x - 1}{x}$=$\frac{(2x + 1)(x - 1)}{x}$,
令f'(x)＞0得x＞1,令f'(x)＜0得0＜x＜1,
所以f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增,所以x=1是函数f(x)的极小值点，所以a=1.　　　　　　　(7分)
(2)第1步:讨论a=0时的单调性
当a=0时,f(x)=x,则函数f(x)的单调增区间为(0,+∞),无单调递减区间　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
第2步:讨论a＞0时的单调性
当a＞0时,f'(x)=$\frac{2ax^{2}+(1 - 2a^{2})x - a}{x}$=$\frac{(2ax + 1)(x - a)}{x}$.(9分)
因为a＞0,x＞0,所以2ax + 1＞0,
令f'(x)＞0得x＞a,令f'(x)＜0得0＜x＜a,
所以函数f(x)的单调减区间为(0,a),单调增区间为(a,+∞).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分)
第3步:总结
综上可知,当a=0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞),无递减区间;
当a＞0时,函数f(x)的单调递减区间为(0,a),f(x)的单调递增区间为(a,+∞).　　　　　　　　　　　　　　　　(15分)

17.(15分)如图,在多面体DABCE中,△ABC是等边三角形,AB = AD = 2,DB = DC = EB = EC = √2.
(1)求证:BC⊥AE;
(2)若二面角A - BC - E的大小为30°,求直线DE与平面ACD所成角的正弦值.

答案：
17.线面垂直的判定和性质+线面角
解:
(1)第1步:取BC的中点O,证明BC⊥平面AOE
如图1,取BC的中点O,连接AO,EO.
∵△ABC是等边三角形,O为BC中点，
∴AO⊥BC.　　　　　　　　　　　(2分)
∵EB = EC,
∴EO⊥BC.　　　　　　(3分)

∵AO∩EO = O,
∴BC⊥平面AEO.
第2步:证明BC⊥AE
又AE⊂平面AEO,
∴BC⊥AE.　　　　　　　　　　　　(5分)
(2)第1步:证明DO⊥平面ABC
如图2,连接DO,则DO⊥BC.
由AB = AC = BC = 2,DB = DC = EB = EC = √2得AO = √3,DO = 1.
又AD = 2,
∴AO² + DO² = AD²,

∴DO⊥AO.　　　　　　　　　(7分)
又AO∩BC = O,
∴DO⊥平面ABC.　　　　　　(8分)
第2步:建立空间直角坐标系并写出相关点和向量的坐标
如图2,以O为坐标原点，OA,OB,OD所在直线分别为x轴，y轴,z轴，建立空间直角坐标系O - xyz.
则A(√3,0,0),C(0, - 1,0),D(0,0,1),
∴CA = (√3,1,0),CD = (0,1,1).　　　　　　　　　　(9分)
第3步:求平面ACD的法向量
设平面ACD的法向量为n = (x,y,z),则{ n·CA = 0, n·CD = 0 },即{ √3x + y = 0, y + z = 0 },取x = 1,则n = (1, - √3,√3).　　　　　(11分)
第4步:求点E的坐标及DE的方向向量的坐标
∵∠AOE是二面角A - BC - E的平面角,
∴∠AOE = 30°.
又OE = 1,
∴E(1/2,0, - √3/2),DE = (1/2,0, - 3/2).　　(13分)
第5步:求直线DE和平面ACD所成角的正弦值
则cos＜DE,n＞ = (DE·n) / (|DE|·|n|) = - √21 / 7.
∴直线DE与平面ACD所成角的正弦值为√21 / 7.　　　　(15分)