《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

17.(15分)某高科技企业为提高研发成果的保密等级,设置了甲、乙、丙、丁4套互不相同的密码保存相关资料,每周使用其中的1套密码,且每周使用的密码都是从上周未使用的3套密码中等可能地随机选用1套.已知第1周选择使用甲密码.
　(1)分别求第3周和第4周使用甲密码的概率;
　(2)记前n周中使用乙密码的次数为Y,求E(Y).

答案： 17.由递推关系式求通项公式+离散型随机变量的数学期望
解:
(1)设第k周使用甲密码的概率为$a_k$，$k = 1,2,\cdots,n$。
因为$a_1 = 1$，$a_2 = 0$，所以$a_3=\frac{1}{3}$。 (2分)
$a_4=a_3×0+(1 - a_3)\frac{1}{3}=\frac{2}{9}$。
所以第3周使用甲密码的概率为$\frac{1}{3}$，第4周使用甲密码的概率为$\frac{2}{9}$。 (5分)
(2)因为第$k$（$k = 1,2,\cdots,n$）周使用甲密码的概率为$a_k$，所以第$(k + 1)$周使用甲密码的概率为$a_{k + 1}=\frac{1}{3}(1 - a_k)$。
整理得$a_{k + 1}-\frac{1}{4}=-\frac{1}{3}(a_k-\frac{1}{4})$。
因为$a_1 = 1$，所以$a_1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\neq0$。
所以数列$\{a_k-\frac{1}{4}\}$是以$\frac{3}{4}$为首项，$-\frac{1}{3}$为公比的等比数列，所以$a_k-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}×(-\frac{1}{3})^{k - 1}$，得$a_k=\frac{3}{4}×(-\frac{1}{3})^{k - 1}+\frac{1}{4}$。 (8分)
设前$n$周中使用甲密码的次数为$X$，第$k$周使用甲密码的次数为$X_k$（$k = 1,2,\cdots,n$），则$X_k$服从两点分布。 (9分)
所以$E(X)=E(X_1 + X_2+\cdots+X_n)=E(X_1)+E(X_2)+\cdots+E(X_n)=a_1 + a_2+\cdots+a_n=\frac{3}{4}×\frac{1-(-\frac{1}{3})^n}{1-(-\frac{1}{3})}+\frac{n}{4}=\frac{9}{16}[1 - (- \frac{1}{3})^n]+\frac{n}{4}$。 (13分)
所以前$n$周中使用甲密码次数的数学期望$E(X)=\frac{9}{16}[1 - (- \frac{1}{3})^n]+\frac{n}{4}$，又乙、丙、丁地位相同。
所以$E(Y)=n - E(X)=\frac{n}{4}+\frac{3}{16}[(-\frac{1}{3})^n - 1]$。 (15分)

18.(17分)已知抛物线C:x²=y,过点E(0,2)作直线交抛物线C于A,B两点,过A,B两点分别作抛物线C的切线交于点P.
　(1)证明:点P在定直线上;
　(2)若F为抛物线C的焦点,证明:∠PFA=∠PFB.

答案： 18.直线与抛物线相切+定直线问题+向量的数量积
解:
(1)第1步:设A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),求出直线AB的方程,进而得x₁x₂ = −2
设A(x₁,x₁²),B(x₂,x₂²),则直线AB的斜率k_AB = $\frac{x₁² - x₂²}{x₁ - x₂}$ = x₁ + x₂. (1分)
直线AB的方程为y - x₁² = (x₁ + x₂)(x - x₁),即y = (x₁ + x₂)x - x₁x₂. (2分)
又直线AB过点E(0,2),所以 - x₁x₂ = 2,即x₁x₂ = - 2. (3分)
第2步:设直线PA的方程，与抛物线方程联立，由PA与PB都和抛物线相切，得两条切线的方程
设直线PA的方程为y - x₁² = k(x - x₁),与抛物线方程y = x²联立，得$\begin{cases}y - x₁² = k(x - x₁)\\y = x²\end{cases}$,解得x = x₁或x = k - x₁.
又直线PA与抛物线相切,所以x = k - x₁,即k = 2x₁.
所以直线PA的方程为y - x₁² = 2x₁(x - x₁),即y = 2x₁x - x₁².
同理可得直线PB的方程为y = 2x₂x - x₂².
第3步:联立两切线的方程得点P的坐标，从而证明点P在定直线上
由$\begin{cases}y = 2x₁x - x₁²\\y = 2x₂x - x₂²\end{cases}$,解得$\begin{cases}x = \frac{x₁ + x₂}{2}\\y = x₁x₂\end{cases}$,所以P($\frac{x₁ + x₂}{2}$,x₁x₂),
即P($\frac{x₁ + x₂}{2}$, - 2).
故点P在定直线y = - 2上. (8分)
(2)第1步:表示出cos∠PFA,cos∠PFB,转化要证明的式子
cos∠PFA = $\frac{\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FP}}{\vert\overrightarrow{FA}\vert \vert\overrightarrow{FP}\vert}$,cos∠PFB = $\frac{\overrightarrow{FB} \cdot \overrightarrow{FP}}{\vert\overrightarrow{FB}\vert \vert\overrightarrow{FP}\vert}$. (10分)
注意到∠PFA与∠PFB都在(0,π)内,可知要证∠PFA = ∠PFB,即$\frac{\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FP}}{\vert\overrightarrow{FA}\vert}$ = $\frac{\overrightarrow{FB} \cdot \overrightarrow{FP}}{\vert\overrightarrow{FB}\vert}$. (11分)
第2步:求出相关向量的数量积和向量的模
而$\overrightarrow{FA}$ = (x₁,x₁² - $\frac{1}{4}$),$\overrightarrow{FP}$ = ($\frac{x₁ + x₂}{2}$, - $\frac{9}{4}$),
所以$\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FP}$ = x₁ $\cdot$ $\frac{x₁ + x₂}{2}$ - $\frac{9}{4}$(x₁² - $\frac{1}{4}$) = - $\frac{7}{16}$(4x₁² + 1),又$\vert\overrightarrow{FA}\vert$ = $\sqrt{x₁² + (x₁² - \frac{1}{4})²}$ = x₁² + $\frac{1}{4}$.
第3步:证明相等
所以$\frac{\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FP}}{\vert\overrightarrow{FA}\vert}$ = $\frac{-\frac{7}{16}(4x₁² + 1)}{x₁² + \frac{1}{4}}$ = - $\frac{7}{4}$.
同理可得$\frac{\overrightarrow{FB} \cdot \overrightarrow{FP}}{\vert\overrightarrow{FB}\vert}$ = - $\frac{7}{4}$.
即有$\frac{\overrightarrow{FA} \cdot \overrightarrow{FP}}{\vert\overrightarrow{FA}\vert}$ = $\frac{\overrightarrow{FB} \cdot \overrightarrow{FP}}{\vert\overrightarrow{FB}\vert}$,故∠PFA = ∠PFB. (17分)