《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

18.(17分)已知点F(2,0)和圆C:(x + 2)² + y² = 36，M为圆C上的一动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点S，记点S的轨迹为曲线E。
(1)求曲线E的方程。
(2)已知点N(0,1)，若曲线E与x轴的左、右交点分别为A，B，过点T(1,0)的直线l与曲线E交于P，Q两点，直线AP，BQ相交于点D，问：是否存在一点D，使得|DM| + |DN|取得最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。

答案： 18.椭圆的定义及标准方程+直线与椭圆的位置关系
解:
(1)第1步:利用椭圆的定义判断点S的轨迹
连接SF,由题意可得|SC|+|SF|=|SC|+|SM|=|MC|=6＞|FC|=4,(提示:线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等)(1分)
所以点S的轨迹是分别以C，F为左、右焦点的椭圆。
第2步:求出曲线E的方程
设椭圆E的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞b＞0)$，半焦距为c,则a = 3,c = 2,又$a^{2}=b^{2}+c^{2}$，所以$b=\sqrt{5}$。(4分)
故曲线E的方程为$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1$。(5分)
(2)第1步:设出直线l的方程，并与椭圆E的方程联立
存在点D,使得|DM|+|DN|取得最小值，且最小值为$\sqrt{401}-6$。(6分)
证明如下:
由题意可知，直线l的斜率不为0。(7分)
故可设直线l的方程为x = my + 1。
由$\begin{cases}x = my + 1\\\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{5}=1\end{cases}$，消去y得$(5m^{2}+9)y^{2}+10my - 40 = 0$，显然$\Delta＞0$。(8分)
第2步:写出根与系数的关系，表示出m
设$P(x_1,y_1)$，$Q(x_2,y_2)$，
则$y_1 + y_2 = \frac{-10m}{5m^{2}+9}$，$y_1y_2 = \frac{-40}{5m^{2}+9}$，所以$m = \frac{4(y_1 + y_2)}{y_1y_2}$(题眼)。(10分)
第3步:求出点D的横坐标
由
(1)知，$A(-3,0)$，$B(3,0)$，
所以直线AP的方程为$y = \frac{y_1}{x_1 + 3}(x + 3)$，直线BQ的方程为$y = \frac{y_2}{x_2 - 3}(x - 3)$。(11分)
设$D(x_0,y_0)$，
因为直线AP，BQ相交于点D，所以$y_0 = \frac{y_1}{x_1 + 3}(x_0 + 3)$，$y_0 = \frac{y_2}{x_2 - 3}(x_0 - 3)$，
消去$y_0$得，$\frac{x_0 + 3}{x_0 - 3}=\frac{y_2(x_1 + 3)}{y_1(x_2 - 3)}=\frac{y_2(my_1 + 4)}{y_1(my_2 - 2)}=\frac{my_1y_2 + 4y_2}{my_1y_2 - 2y_1}=2$，解得$x_0 = 9$。(14分)
即点D在直线x = 9上。
第4步:利用三点共线距离最短求得最值
而$N(0,1)$关于直线x = 9对称的点$N'(18,1)$且$C(-2,0)$。(15分)
连接$CN'$，$DN'$，$MN'$，则$|DM|+|DN|=|DM|+|DN'|≥|MN'|≥|CN'|-6=\sqrt{[18 - (-2)]^{2}+(1 - 0)^{2}}-6=\sqrt{401}-6$，当且仅当C，D，M，$N'$四点共线时，等号同时成立。
所以$|DM|+|DN|$的最小值为$\sqrt{401}-6$。(17分)

19.(17分)若无穷数列{aₙ}满足a₁ = 0，|aₙ₊₁ - aₙ| = f(n)，则称数列{aₙ}为β数列，若β数列{aₙ}满足aₙ ≤ $\frac{n - 1}{2}$，则称数列{aₙ}为γ数列。
(1)若数列{aₙ}为β数列，f(n) = 1，n∈N*，证明：当n ≤ 2025时，数列{aₙ}为递增数列的充要条件是a₂₀₂₅ = 2024；
(2)若数列{bₙ}为γ数列，f(n) = n，记cₙ = b₂ₙ，且对任意的n∈N*，都有cₙ ＜ cₙ₊₁，求数列{cₙ}的通项公式。

答案： 19.新定义数列+数列的单调性+等差数列的定义及通项公式解;
(1)第1步:根据新定义结合等差数列的定义及通项公式证明必要性
先证必要性:
依题意得,|aₙ₊₁ - aₙ| = 1,又当n ≤ 2025时,数列{aₙ}是递增数列,故当n ≤ 2024时,aₙ₊₁ - aₙ = 1, (1分)
故当n ≤ 2025时,数列{aₙ}是a₁ = 0,公差d = 1的等差数列, (2分)
故a₂₀₂₅ = 0 + (2025 - 1)×1 = 2024,必要性成立. (3分)
第2步:利用累加法证明充分性
再证充分性:
由|aₙ₊₁ - aₙ| = 1,得aₙ₊₁ - aₙ ≤ 1, (4分)
又a₁ = 0,故a₂₀₂₅ = (a₂₀₂₅ - a₂₀₂₄) + (a₂₀₂₄ - a₂₀₂₃) +... + (a₂ - a₁) + a₁ ≤ 2024, (5分)
当且仅当aₙ₊₁ - aₙ = 1(n ≤ 2024)时取“=”, (6分)
又a₂₀₂₅ = 2024,故当n ≤ 2024时,aₙ₊₁ - aₙ = 1,
故当n ≤ 2025时,数列{aₙ}是递增数列，充分性成立.得证(7分)
(2)第1步:利用数列的单调性证明当b₂ₙ ≥ 0时,有n ≥ 2
由cₙ ＜ cₙ₊₁知,数列{cₙ}是递增数列,又cₙ = b₂ₙ,故数列{bₙ}的偶数项构成递增数列, (8分)
又b₁ = 0
又|bₙ₊₁ - bₙ| = n,所以可得b₂ = -1,b₃ = 0, (10分)
bₙ ≤ $\frac{n - 1}{2}$
故当b₂ₙ ≥ 0时,有n ≥ 2. (11分)
第2步:利用反证法证明数列{bₙ}中相邻两项不可能同时为非负数
下面证明数列{bₙ}中相邻两项不可能同时为非负数.
假设i∈N,数列{bₙ}中存在bᵢ,bᵢ₊₁同时为非负数,
因为|bᵢ₊₁ - bᵢ| = i,
所以若bᵢ₊₁ - bᵢ = i,则有bᵢ₊₁ = bᵢ + i ≥ i ＞ $\frac{(i + 1) - 1}{2}$,与已知条件矛盾;
若bᵢ₊₁ - bᵢ = -i,则有bᵢ = bᵢ₊₁ + i ≥ i ＞ $\frac{i - 1}{2}$,与已知条件矛盾所以假设不存在，即对任意的n∈N,bₙ,bₙ₊₁中至少有一个小于0. (13分)
第3步:得出当n ≥ 2时,cₙ与cₙ₋₁的关系式
因为b₂ₙ ≥ 0对n ≥ 2恒成立，
所以当n ≥ 2时,b₂ₙ₋₁ ＜ 0,b₂ₙ₊₁ ＜ 0,即当n ≥ 2时,b₂ₙ ＞ b₂ₙ₋₁,b₂ₙ ＞ b₂ₙ₊₁, (14分)
故当n ≥ 2时,b₂ₙ - b₂ₙ₋₁ = 2n - 1,当n ≥ 3时,b₂ₙ₋₁ - b₂ₙ₋₂ = -(2n - 2), (15分)
故当n ≥ 3时,(b₂ₙ - b₂ₙ₋₁) + (b₂ₙ₋₁ - b₂ₙ₋₂) = 1,
即当n ≥ 3时,b₂ₙ - b₂ₙ₋₂ = 1,又b₄ - b₂ = 1,所以当n ≥ 2时,b₂ₙ - b₂ₙ₋₂ = 1,即当n ≥ 2时,cₙ - cₙ₋₁ = 1, (16分)
第4步:求出{cₙ}的通项公式
又c₁ = b₂ = -1,
所以数列{cₙ}是c₁ = -1,公差为1的等差数列，
所以cₙ = -1 + (n - 1)×1 = n - 2. (17分)