《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

11.已知抛物线C:y²=4x的焦点为F,过F作两条互相垂直的直线l₁,l₂,l₁与C交于P,Q两点,l₂与C 交于M,N两点,线段PQ的中点为G,线段MN的中点为H,则
A.当|PF|=2|QF|时,|MN|=36
B.|PQ|+|MN|的最小值为18
C.直线GH过定点(4,0)
D.△FGH的面积的最小值为4

答案： AD　直线与抛物线的位置关系+直线过定点+三角形面积的求法　对于A,由题意得F(1,0),设直线l₁的方程为x = my + 1,则直线l₂的方程为x = -$\frac{1}{m}$y + 1。由$\begin{cases}y^{2}=4x\\x = my + 1\end{cases}$,得y² - 4my - 4 = 0,易知Δ＞0,设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),则y₁ + y₂ = 4m,y₁y₂ = -4。设M(x₃,y₃),N(x₄,y₄),同理得y₃ + y₄ = -$\frac{4}{m}$,y₃y₄ = -4。又$\frac{1}{|PF|}=\frac{2}{|QF|}$,所以y₁ = -2y₂,所以m² = $\frac{1}{8}$,所以|MN| = x₃ + x₄ + 2 = -$\frac{1}{m}$(y₃ + y₄) + 2 + 2 = $\frac{4}{m^{2}}$ + 4 = 36。故A正确。对于B,由A知|MN| = x₃ + x₄ + 2 = -$\frac{1}{m}$(y₃ + y₄) + 2 + 2 = $\frac{4}{m^{2}}$ + 4,又|PQ| = x₁ + x₂ + 2 = m(y₁ + y₂) + 2 + 2 = 4m² + 4,所以|PQ| + |MN| = $\frac{4}{m^{2}}$ + 4 + 4m² + 4 ≥ 16,当且仅当4m² = $\frac{4}{m^{2}}$,即m = ±1时，等号成立。故B错误。
对于C,由A知,G(2m² + 1,2m),H($\frac{2}{m^{2}}$ + 1,-$\frac{2}{m}$),所以直线GH:y - 2m = $\frac{2m+\frac{2}{m}}{2m^{2}-\frac{2}{m^{2}}}$(x - 2m² - 1),令y = 0,得x = 3,所以直线GH过定点(3,0),故C错误。
对于D,因为直线GH过定点A(3,0),所以S△FGH = $\frac{1}{2}$|FA|·|yG - yH| = |yG - yH| = |2m + $\frac{2}{m}$| ≥ 4,当且仅当m = ±1时,等号成立。故D正确。综上，选AD。

12.如图,若圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的表面积之比为________.

答案： $\frac{2}{3}$　圆柱与球的表面积公式　公式法　设球O的半径为R,则球的表面积S球 = 4πR²,圆柱的表面积S柱表 = 2πR² + 2πR·2R = 6πR²,所以$\frac{S_{球}}{S_{柱表}}$ = $\frac{4πR^{2}}{6πR^{2}}$ = $\frac{2}{3}$

13.已知0＜α＜$\frac{\pi}{2}$＜β＜π,cosβ=−$\frac{1}{3}$,sin(α+β)=$\frac{7}{9}$,则tanα=________.

答案： $\frac{\sqrt{2}}{4}$　两角差的正弦公式+同角三角函数的基本关系　凑角法　由题意知sinβ = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∵0 ＜ α ＜ $\frac{π}{2}$ ＜ β ＜ π,
∴$\frac{π}{2}$ ＜ α + β ＜ $\frac{3π}{2}$,又sin(α + β) = $\frac{7}{9}$,
∴cos(α + β) = -$\frac{4\sqrt{2}}{9}$,
∴sinα = sin[(α + β) - β] = sin(α + β)cosβ - cos(α + β)sinβ = $\frac{7}{9}$×(-$\frac{1}{3}$) + $\frac{4\sqrt{2}}{9}$×$\frac{2\sqrt{2}}{3}$ = $\frac{9}{27}$ = $\frac{1}{3}$,
∴cosα = $\frac{2\sqrt{2}}{3}$,
∴tanα = $\frac{sinα}{cosα}$ = $\frac{\frac{1}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}$ = $\frac{\sqrt{2}}{4}$

14.已知函数f(x)=(x−1)eˣ+ax²的最小值为−1,则实数a的取值范围为________.

答案： [0,+∞)　利用导数求函数的最值　第1步:求出导函数
因为f(x) = (x - 1)eˣ + ax²,所以f'(x) = xeˣ + 2ax = x(eˣ + 2a)。
第2步:若a ≥ 0，求函数f(x)的单调区间,进而得到函数f(x)的最小值
①若a ≥ 0,则当x ∈ (-∞,0)时,f'(x) ＜ 0,故f(x)在(-∞,0)上单调递减,当x ∈ (0,+∞)时,f'(x) ＞ 0,故f(x)在(0,+∞)上单调递增,当x = 0时，f(x)有最小值f
(0) = -1。
第3步:利用极限分析法判断a ＜ 0时不符合题意
②若a ＜ 0,则当x → -∞时,f(x) → -∞,不符合题意。
第4步:得结果
故实数a的取值范围为[0,+∞)。

15.(13分)有2个盒子,其中1号盒子中有3个红球,2个白球;2号盒子中有4个红球,6个白球，这些球除颜色外完全相同.
(1)先等可能地选择1个盒子,再从此盒中摸出2个球,若摸出球的结果是1红1白,求这2个球出自1号盒子的概率;
(2)如果从2个盒子中摸出3个球,其中从1号盒子中摸1个球,从2号盒子中摸2个球,规定摸到红球得2分,摸到白球得1分,用X表示这3个球的得分之和,求X的分布列及数学期望.

答案： 15.条件概率+贝叶斯公式+随机变量的分布列及数学期望
解:
(1)第1步:利用古典概型的概率计算公式求概率
记事件A表示摸球结果是1红1白，事件B₁表示选择1号盒子，事件B₂表示选择2号盒子，则
P(B₁)=P(B₂)=$\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　(1分)
第2步:利用条件概率公式求概率
P(A|B₁)=$\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}}$=$\frac{3}{5}$，P(A|B₂)=$\frac{C_{4}^{1}C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}$=$\frac{8}{15}$　　　　　　(3分)
第3步:得结果
由贝叶斯公式，若摸球的结果是1红1白，出自1号盒子的概率
P(B₁|A)=$\frac{P(B₁A)}{P(A)}$=$\frac{P(B₁A)}{P(B₁A)+P(B₂A)}$=$\frac{\frac{1}{2}P(A|B₁)}{\frac{1}{2}P(A|B₁)+\frac{1}{2}P(A|B₂)}$=$\frac{9}{17}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
(2)第1步:求出随机变量的可能取值
由题意得X的可能取值为3,4,5,6　　　　　　　　　(6分)
第2步:求随机变量每个取值对应的概率
P(X = 3)=$\frac{2}{5}$×$\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$×$\frac{3}{15}$=$\frac{6}{75}$=$\frac{2}{25}$　　　　　　　(7分)
P(X = 4)=$\frac{2}{5}$×$\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{C_{3}^{2}}{C_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$×$\frac{6}{15}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{3}{15}$=$\frac{21}{75}$=$\frac{7}{25}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
P(X = 5)=$\frac{2}{5}$×$\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{6}^{2}}$=$\frac{2}{5}$×$\frac{1}{15}$+$\frac{3}{5}$×$\frac{6}{15}$=$\frac{20}{75}$=$\frac{4}{15}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)
P(X = 6)=$\frac{3}{5}$×$\frac{C_{2}^{2}}{C_{6}^{2}}$=$\frac{3}{5}$×$\frac{1}{15}$=$\frac{3}{75}$=$\frac{1}{25}$　　　　　　(10分)
第3步:求出分布列
所以X的分布列为
X　　3　　4　　5　　6
P　　$\frac{2}{25}$　　$\frac{7}{25}$　　$\frac{4}{15}$　　$\frac{1}{25}$
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(11分)
第4步:求出数学期望
所以E(X)=3×$\frac{6}{75}$+4×$\frac{21}{75}$+5×$\frac{20}{75}$+6×$\frac{3}{75}$=$\frac{168}{75}$=$\frac{56}{25}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分)