《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

19.(17分)某制药公司针对某种病毒研制了一款新疫苗.该病毒一般通过病鼠与非病鼠之间的接触传染,现有n只非病鼠,每只非病鼠在接触病鼠后被感染的概率为$\frac{2}{3}$,被感染的非病鼠数用随机变量X表示，假设每只非病鼠是否被感染相互独立.
(1)若P(X = 55) = 2P(X = 45),求数学期望E(X).
(2)设接种疫苗后的非病鼠被病鼠感染的概率为p(0＜p＜1),现有两个不同的研究团队通过理论研究发现概率p与参数θ(0＜θ＜1)的取值有关.团队A提出函数模型为p = $\frac{1}{3}$ln(1 + θ) - $\frac{8}{9}$θ,团队B提出函数模型为p = $\frac{1}{2}$(1 - e$^{-\theta}$).现将这n只非病鼠平均分成10组,进行试验,随机变量X$_{i}$(i = 1,2, …,10)表示第i组被感染的非病鼠数,如图是根据随机变量X$_{i}$(i = 1,2, …,10)的试验结果x$_{i}$(i = 1,2, …,10)绘制成的频数分布直方图.假设每组非病鼠是否被感染相互独立.

①试写出事件“X$_{1}$ = x$_{1}$,X$_{2}$ = x$_{2}$, …,X$_{10}$ = x$_{10}$”发生的概率表达式(用p表示,组合数不必计算).
②在统计学中,若参数θ = θ$_{0}$时使得概率P(X$_{1}$ = x$_{1}$,X$_{2}$ = x$_{2}$, …,X$_{10}$ = x$_{10}$)最大,则称θ$_{0}$是θ的极大似然估计.根据这一原理,判断A,B两个团队提出的函数模型是否可以求出θ的极大似然估计θ$_{0}$,若能,请求出θ$_{0}$.
参考数据:ln$\frac{3}{2}$≈0.4065.

答案： 19.以极大似然估计考查伯努利试验+相互独立事件同时发生的概率+二项分布+利用导数研究函数单调性和最值问题
解:
(1)第1步:判断随机变量X服从二项分布
由题意知随机变量X~B(n,$\frac{2}{3}$),即$P(X = k) = C_{n}^{k}(\frac{2}{3})^{k}(1 - \frac{2}{3})^{n - k}=C_{n}^{k}(\frac{2}{3})^{k}(\frac{1}{3})^{n - k}$(k = 0,1,2,...,n).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(2分)
第2步:根据P(X = 55) = 210P(X = 45),求出n的值及随机变量X的数学期望
由P(X = 55) = 210P(X = 45),得$C_{n}^{55}(\frac{2}{3})^{55}(\frac{1}{3})^{n - 55}=210\times C_{n}^{45}(\frac{2}{3})^{45}(\frac{1}{3})^{n - 45}$，　　(4分)
∴n = 100,
∴$E(X)=n\times\frac{2}{3}=100\times\frac{2}{3}=\frac{200}{3}$　　　　　　　　　　　　　(6分)
(2)①由题意得$P(X_1 = x_1,X_2 = x_2,\cdots,X_{10} = x_{10})=[C_{10}^{2}p^{2}(1 - p)^{8}]^{2}\cdot[C_{20}^{3}p^{3}(1 - p)^{17}]^{2}\cdot[C_{30}^{2}p^{2}(1 - p)^{28}]^{3}\cdot C_{40}^{6}p^{6}(1 - p)^{34}\cdot C_{50}^{5}p^{5}(1 - p)^{45}\cdot C_{60}^{4}p^{4}(1 - p)^{56}=(C_{10}^{2})^{2}(C_{20}^{3})^{2}(C_{30}^{2})^{3}C_{40}^{6}C_{50}^{5}C_{60}^{4}p^{30}(1 - p)^{70}$，0 ＜ p ＜ 1.　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)
②第1步:构造函数$g(p)=\ln[P(X_1 = x_1,X_2 = x_2,\cdots,X_{10} = x_{10})]$. (求$P(X_1 = x_1,X_2 = x_2,\cdots,X_{10} = x_{10})$的最大值,直接求运算量大,构造函数$g(p)=\ln[P(X_1 = x_1,X_2 = x_2,\cdots,X_{10} = x_{10})]$,使运算变得简单)
设$g(p)=\ln[P(X_1 = x_1,X_2 = x_2,\cdots,X_{10} = x_{10})]=\ln[(C_{10}^{2})^{2}(C_{20}^{3})^{2}(C_{30}^{2})^{3}C_{40}^{6}C_{50}^{5}C_{60}^{4}p^{30}(1 - p)^{70}]=\ln[(C_{10}^{2})^{2}(C_{20}^{3})^{2}(C_{30}^{2})^{3}C_{40}^{6}C_{50}^{5}C_{60}^{4}]+30\ln p + 70\ln(1 - p)$，0 ＜ p ＜ 1.
第2步:利用导数求出函数g(p)取得最大值时p的值
则$g^\prime(p)=\frac{30}{p}-\frac{70}{1 - p}=\frac{30(1 - p)-70p}{p(1 - p)}=\frac{30 - 30p - 70p}{p(1 - p)}=\frac{30 - 100p}{p(1 - p)}$，令$g^\prime(p)＞0$，则$0 ＜ p ＜ 0.3$，令$g^\prime(p)＜0$，则$0.3 ＜ p ＜ 1$，
∴g(p)在(0,0.3)上单调递增,在(0.3,1)上单调递减,
当p = 0.3时,g(p)取得最大值g(0.3).　　　　　　　(12分)
第3步:求团队A提出的函数模型的最大值，并判断是否可以求出θ的极大似然估计
记函数$m(x)=\ln(1 + x)-\frac{8}{9}x^{2}$，0 ＜ x ＜ 1，则$m^\prime(x)=\frac{1}{1 + x}-\frac{16x}{9}=\frac{9 - 16x(1 + x)}{9(1 + x)}=\frac{9 - 16x - 16x^{2}}{9(1 + x)}=\frac{-(16x^{2}+16x - 9)}{9(1 + x)}=\frac{-(2x - 1)(8x + 9)}{9(1 + x)}$，
令$m^\prime(x)＞0$，则$0 ＜ x ＜ \frac{1}{2}$；令$m^\prime(x)＜0$，则$\frac{1}{2} ＜ x ＜ 1$，
∴m(x)在$(0,\frac{1}{2})$上单调递增，在$(\frac{1}{2},1)$上单调递减，
∴$m(x)\leq m(\frac{1}{2})=\ln\frac{3}{2}-\frac{2}{9}\approx0.4065-\frac{2}{9}＜0.3$，
∴团队A提出的函数模型$p = \ln(1 + \theta)-\frac{8}{9}\theta^{2}$求不出θ的极大似然估计$\hat{\theta}$.　　　　　　　　　　　　　　　　　(15分)
第4步:求团队B提出的函数模型的最大值，并判断是否可以求出θ的极大似然估计
记函数$n(x)=\frac{1}{2}(1 - e^{-x})$，0 ＜ x ＜ 1，则n(x)在(0,1)上单调递增，且其值域为$(0,\frac{1}{2}(1 - \frac{1}{e}))$.
令$n(x)=\frac{1}{2}(1 - e^{-x}) = 0.3$，则$x = \ln\frac{5}{2}\in(0,1)$，
∴团队B提出的函数模型$p=\frac{1}{2}(1 - e^{-\theta})$可以求出θ的极大似然估计，且$\hat{\theta}=\ln\frac{5}{2}$　　　　　　　　　　　　　(17分)
考情速递　概率与导数结合　2023年新课标I卷第21题利用全概率与数列巧妙结合考查，本题通过极大似然估计将概率与导数结合考查两题的共性均在知识交汇处命题，跨模块考查考生的综合能力.