《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

16.(15分)如图1,菱形ABCD的边长为$\sqrt{5}$,BD = 2,将△ABD沿BD折起形成如图2所示的三棱锥A−BCD.
　　　 　
　　(1)证明:三棱锥A−BCD中,BD⊥AC;
　　(2)当点A在平面BCD的射影为△BCD的重心时,求直线AC与平面BCD所成角的正弦值.

答案：
线线垂直+线面垂直+直线与平面所成角的正弦值
解:
(1)第1步:取BD的中点E,连接AE和CE,得出BD⊥AE，BD⊥CE
如图a,取BD的中点E,连接AE和CE.
　　　　　　　　
因为△ABD和△BCD都是底边为BD的等腰三角形，所以BD⊥AE且BD⊥CE.　　　　　　　　　　　　　(3分)
第2步:证明BD⊥平面ACE
又AE∩CE=E,AE⊂平面ACE,CE⊂平面ACE,所以BD⊥平面ACE.　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
第3步:证明BD⊥AC
又AC⊂平面ACE,所以BD⊥AC.　　　　　　　　　　(7分)
(2)解法一　第1步:说明△BCD重心的位置
取CE上离E较近的三等分点O,根据重心的概念可知,O为△BCD的重心.
　　　　　　　　
第2步:得出直线AC与平面BCD所成的角
如图b,连接AO,由题意可知AO⊥平面BCD,故AC与平面BCD所成的角为∠ACO.(题眼)　　　　(10分)
第3步:求∠ACO的正弦值
AE = CE = $\sqrt{AD^{2}-(\frac{BD}{2})^{2}}$ = 2.
在Rt△AOE中,OE = $\frac{1}{3}$CE = $\frac{2}{3}$,所以AO = $\sqrt{AE^{2}-OE^{2}}$ = $\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
在Rt△AOC中,AC = $\sqrt{AO^{2}+OC^{2}}$ = $\frac{4\sqrt{3}}{3}$.　　　　　　(14分)
故sin∠ACO = $\frac{AO}{AC}$ = $\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.　　　　　　　　　(15分)
解法二　第1步:说明△BCD的重心的位置
取CE上离E较近的三等分点O,根据重心的概念可知,O为△BCD的重心.
第2步:建立空间直角坐标系
连接AO,由题意可知AO⊥平面BCD,过点O作BD的平行线,建立如图c所示的空间直角坐标系O - xyz.　　　　　(10分)
　　　　　　　
第3步:求平面BCD的法向量
可得平面BCD的一个法向量n = (0,0,1).　　　　　(11分)
第4步:求直线AC的方向向量
AE = CE = $\sqrt{AD^{2}-(\frac{BD}{2})^{2}}$ = 2.
在Rt△AOE中,OE = $\frac{1}{3}$CE = $\frac{2}{3}$,所以AO = $\sqrt{AE^{2}-OE^{2}}$ = $\frac{4\sqrt{2}}{3}$.
于是A(0,0,$\frac{4\sqrt{2}}{3}$),C(0,$\frac{4}{3}$,0),$\overrightarrow{AC}$ = (0,$\frac{4}{3}$,-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$). (13分)
第5步:求直线AC与平面BCD所成角的正弦值
设直线AC与平面BCD所成的角为θ,
则sinθ = |cos＜$\overrightarrow{AC}$,n＞| = $\frac{|\overrightarrow{AC}\cdot\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AC}|\cdot|\overrightarrow{n}|}$ = $\frac{\frac{4\sqrt{2}}{3}}{\frac{4\sqrt{3}}{3}}$ = $\frac{\sqrt{6}}{3}$.　　　　(15分)

17.(15分)设数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$,$a_1 = 1$,$2S_n = n^2 + n(n\in N^*)$.
　(1)求数列$\{a_n\}$的通项公式;
　(2)设数列$\{b_n\}$的前n项和为$T_n$,且$b_n = \frac{1}{\sqrt{a_n}+\sqrt{a_{n + 1}}}$,求$T_9$;
　(3)证明:$\frac{1}{2\sqrt{a_1}}+\frac{1}{2\sqrt{a_2}}+\frac{1}{2\sqrt{a_3}}+\cdots+\frac{1}{2\sqrt{a_9}}＞ \sqrt{9}$.

答案： 数列的通项公式+数列的前n项和+裂项相消求和+放缩法
解:
(1)第1步:当n≥2时,求an
因为2Sn = n² + n,所以Sn = $\frac{n² + n}{2}$.
当n≥2时,an = Sn - Sn - 1 = $\frac{n² + n}{2}$ - $\frac{(n - 1)² + (n - 1)}{2}$ = n.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)
第2步:验证a1,得出an = n(n∈N*)
因为a1 = 1也满足上式,所以数列{an}的通项公式为an = n(n∈N*).　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(5分)
(2)第1步:对bn变形
因为bn = $\frac{1}{a_{n}+\sqrt{a_{n + 1}}}$,且an = n(n∈N*),
所以bn = $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}$ = $\frac{\sqrt{n + 1}-\sqrt{n}}{(\sqrt{n}+\sqrt{n + 1})(\sqrt{n + 1}-\sqrt{n})}$ = $\sqrt{n + 1}$ - $\sqrt{n}$.(题眼)　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
第2步:求T99
所以T99 = $\sqrt{2}$ - $\sqrt{1}$ + $\sqrt{3}$ - $\sqrt{2}$ + $\sqrt{4}$ - $\sqrt{3}$ +... + $\sqrt{100}$ - $\sqrt{99}$ = $\sqrt{100}$ - 1 = 9.　　　　　　　　　　　　　　　　　　(10分)
(3)第1步:对$\frac{1}{2\sqrt{a_{n}}}$进行放缩
由于$\frac{1}{2\sqrt{a_{n}}}$ = $\frac{1}{2\sqrt{n}}$ = $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n}}$ ＞ $\frac{1}{\sqrt{n}+\sqrt{n + 1}}$ = $\sqrt{n + 1}$ - $\sqrt{n}$ = bn.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(12分)
第2步:基于放缩结果求和证明不等式
故$\frac{1}{2\sqrt{a_{1}}}$ + $\frac{1}{2\sqrt{a_{2}}}$ + $\frac{1}{2\sqrt{a_{3}}}$ + ….. + $\frac{1}{2\sqrt{a_{99}}}$ ＞ T99 = 9,所以原不等式成立.　　　　　　　　　　　　　　　(15分)

18.(17分)民谣“杨柳儿活,抽陀螺;杨柳儿青,放空钟;杨柳儿死,踢毽子……”,体现随着季节变化,可以进行不同的健身活动,其中踢毽子在我国流传很广,有着悠久的历史.据考证,踢毽子起源于我国汉代,盛行于南北朝和隋唐.某市高中学校为弘扬传统文化,增强学生身体素质,在高一年级开展了“人人参与”“团队竞赛”的踢毽子活动.在“人人参与”的环节中记录高一年级700名学生每人每分钟踢毽子的次数,从中抽取100名学生的成绩进行统计,如图所示,得到样本的频率分布直方图.将每分钟踢毽子的次数的样本数据第60百分位数(精确到1),记为“达标”的指标界值.
(1)请根据样本数据,求高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值.
(2)“团体竞赛”规则为,每班选出3名选手组成代表队参赛,上场的甲、乙、丙3人,由甲将毽子等可能地踢给另外两人中的1人,接到毽子的人再等可能地踢向另外两人中的1人，如此不停地传下去，直到有选手没有接到毽子则比赛结束,记录此时的传踢个数作为团队成绩.记第i(i∈N)次传踢之前毽子在甲这里的概率为$a_i$,易知$a_1=1,a_2=0$.求第6次传踢前,毽子传到甲的概率$a_6$,并讨论第i次传踢前(i∈N,且i≥3)毽子在甲、乙、丙三人中哪一人的概率最大.

答案： 频率分布直方图+百分位数+等比数列的定义、通项公式
解:
(1)设高一年级学生踢毽子“达标”的指标界值为x,分析得x∈(45,50)。(1分)
依题意有(x - 45)×0.060 = 0.6 - (0.010 + 0.024 + 0.036 + 0.040)×5(题眼)。(3分)
得x = 45 + $\frac{0.05}{0.06}$≈46。(5分)
(2)第1步:得出{aᵢ}的递推公式
设第i次传踢之前毽子在乙、丙的概率分别为bᵢ,cᵢ,
则有bᵢ = cᵢ = $\frac{1 - aᵢ}{2}$,aᵢ₊₁ = $\frac{1}{2}$×$\frac{1 - aᵢ}{2}$ + $\frac{1}{2}$×$\frac{1 - aᵢ}{2}$ = $\frac{1 - aᵢ}{2}$。(7分)
第2步:求得{aᵢ}的通项公式,进而得a₄
所以aᵢ₊₁ = - $\frac{aᵢ}{2}$ + $\frac{1}{2}$,即aᵢ₊₁ - $\frac{1}{3}$ = - $\frac{1}{2}$(aᵢ - $\frac{1}{3}$)(i∈N*)。(9分)
因为a₁ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$,所以{aᵢ - $\frac{1}{3}$}为等比数列，其首项为$\frac{2}{3}$,公比为 - $\frac{1}{2}$,所以aᵢ - $\frac{1}{3}$ = $\frac{2}{3}$(- $\frac{1}{2}$)ⁱ⁻¹。(11分)
所以aᵢ = $\frac{1}{3}$ + $\frac{2}{3}$(- $\frac{1}{2}$)ⁱ⁻¹(i∈N*),a₄ = $\frac{5}{16}$。(13分)
第3步:基于{aᵢ}的通项公式得出结论
i为偶数时,aᵢ ＜ $\frac{1}{3}$,bᵢ = cᵢ ＞ $\frac{1}{3}$,毽子在乙、丙的概率较大。(15分)
i为奇数时,aᵢ ＞ $\frac{1}{3}$,bᵢ = cᵢ ＜ $\frac{1}{3}$,毽子在甲的概率较大。(17分)
考教衔接 本题改编自人教A版选择性必修第三册第91页第10题。
考情速递 2023年新课标I卷第21题以“投篮”为背景，创设了“运动竞技与健康生活”情境，渗透了体育，考查了全概率公式,概率统计与数列综合;2019年全国I卷理科第21题创设了“白鼠药效试验”的科学情境，渗透了智育，同样考查了概率统计与数列综合。本题考查方式与两道高考真题相似,“杨柳儿活，抽陀螺;杨柳儿青，放空钟;杨柳儿死，踢毽子……”创设了“文化”情境,“人人参与”“团队竞赛”的踢毽子活动创设了“运动竞技与健康生活”情境，渗透体育，体现了五育并举的教育理念，考查概率统计与数列综合。预计在以后的高考中，渗透五育并举教育理念的高考真题会频繁出现。