《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

16.(15分)已知椭圆C:$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$ (a＞b＞0)的右焦点为F,左顶点为A,短轴长为$2\sqrt{3}$,且经过点$(1,\frac{3}{2})$.
　　(1)求椭圆C的方程;
　　(2)过点F的直线l(不与x轴重合)与C交于P,Q两点,直线AP,AQ与直线x = 4的交点分别为M,N,记直线MF,NF的斜率分别为$k_1$,$k_2$,证明:$k_1\cdot k_2$为定值.

答案： 16.椭圆的方程+直线与椭圆的位置关系
解:
(1)因为2b = 2√3,所以b = √3。(2分)
将(1,3/2)代入x²/a² + y²/3 = 1得1/a² + 3/4 = 1,解得a² = 4。
故椭圆C的方程为x²/4 + y²/3 = 1。(5分)
(2)第1步:设点的坐标和直线方程
由
(1)可得F(1,0),由题意可设l:x = ty + 1,P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)。
第2步:将直线方程和椭圆方程联立,消去x,写出根与系数的关系
由{x = ty + 1,x²/4 + y²/3 = 1}可得(3t² + 4)y² + 6ty - 9 = 0,易知△＞0。
所以y₁ + y₂ = -6t/(3t² + 4),y₁y₂ = -9/(3t² + 4)。(8分)
第3步:表示出直线AP的方程,表示出点M的坐标,得到点N的坐标
因为A(-2,0),所以直线AP的方程为y = y₁/(x₁ + 2) * (x + 2),令x = 4,则y = 6y₁/(x₁ + 2),故M(4,6y₁/(x₁ + 2)),同理可得N(4,6y₂/(x₂ + 2))。(12分)
第4步:分别表示出k₁,k₂,并求出k₁k₂的值，得证
所以k₁ = (6y₁/(x₁ + 2))/(4 - 1) = 6y₁/3(ty₁ + 3),k₂ = (6y₂/(x₂ + 2))/(4 - 1) = 6y₂/3(ty₂ + 3)。(13分)
故k₁k₂ = 36y₁y₂/[9(ty₁ + 3)(ty₂ + 3)] = 4y₁y₂/[t²y₁y₂ + 3t(y₁ + y₂) + 9]
= [4 * (-9/(3t² + 4))]/[t² * (-9/(3t² + 4)) + 3t * (-6t/(3t² + 4)) + 9]
= (-36/(3t² + 4))/[(-9t²/(3t² + 4)) + (-18t²/(3t² + 4)) + 9]
= (-36/(3t² + 4))/[(-27t²/(3t² + 4)) + 9]
= (-36/(3t² + 4))/[(-27t² + 27t² + 36)/(3t² + 4)]
= -36/36 = -1。得证(15分)

17.(15分)树人中学高三(1)班某次数学质量检测(满分150分)的统计数据如下表:
　　
在按比例分配的分层随机抽样中,已知总体划分为2层,把第1层样本记为$x_1,x_2,x_3,\cdots,x_n$,其平均数记为$\overline{x}$,方差记为$s_1^2$;把第2层样本记为$y_1,y_2,y_3,\cdots,y_m$,其平均数记为$\overline{y}$,方差记为$s_2^2$;把总样本数据的平均数记为$\overline{z}$,方差记为$s^2$.
(1)证明:$s^2=\frac{1}{m + n}\{n[s_1^2 + (\overline{x} - \overline{z})^2] + m[s_2^2 + (\overline{y} - \overline{z})^2]\}$;
(2)求该班参加考试学生成绩的平均数和标准差(精确到1);
(3)假设全年级学生的考试成绩服从正态分布$N(\mu,\sigma^2)$,以该班参加考试学生成绩的平均数和标准差分别作为$\mu$和$\sigma$的估计值,如果按照16%,34%,34%,16%的比例将考试成绩从高分到低分依次划分为A,B,C,D四个等级,试确定各等级的分数线(精确到1).
附:$P(\mu - \sigma \leq X \leq \mu + \sigma) \approx 0.68$,$\sqrt{302} \approx 17$,$\sqrt{322} \approx 18$,$\sqrt{352} \approx 19$.

答案： 总体样本方差公式的证明+总体样本的平均数与标准差+正态分布+3σ原则
解:
(1)第1步:写出方差的表达式，对式子进行裂项、拆分
$s^{2}=\frac{1}{m + n}[\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{z})^{2}+\sum_{i = 1}^{m}(y_{i}-\overline{z})^{2}]$
$=\frac{1}{m + n}[\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x}+\overline{x}-\overline{z})^{2}+\sum_{i = 1}^{m}(y_{i}-\overline{y}+\overline{y}-\overline{z})^{2}]$
$=\frac{1}{m + n}\{\sum_{i = 1}^{n}[(x_{i}-\overline{x})^{2}+(\overline{x}-\overline{z})^{2}+2(x_{i}-\overline{x})(\overline{x}-\overline{z})]+\sum_{i = 1}^{m}[(y_{i}-\overline{y})^{2}+(\overline{y}-\overline{z})^{2}+2(y_{i}-\overline{y})(\overline{y}-\overline{z})]\}$ (2分)
第2步:证明$\sum_{i = 1}^{n}[2(x_{i}-\overline{x})(\overline{x}-\overline{z})]=0$，$\sum_{i = 1}^{m}[2(y_{i}-\overline{y})(\overline{y}-\overline{z})]=0$
$\sum_{i = 1}^{n}[2(x_{i}-\overline{x})(\overline{x}-\overline{z})]=2(\overline{x}-\overline{z})\sum_{i = 1}^{n}(x_{i}-\overline{x})=2(\overline{x}-\overline{z})(x_{1}+x_{2}+x_{3}+\cdots +x_{n}-n\overline{x}) = 0$
同理可得$\sum_{i = 1}^{m}[2(y_{i}-\overline{y})(\overline{y}-\overline{z})]=0$ (4分)
第3步:得出结论
所以$s^{2}=\frac{1}{m + n}\{n[s_{x}^{2}+(\overline{x}-\overline{z})^{2}]+m[s_{y}^{2}+(\overline{y}-\overline{z})^{2}]\}$ (5分)
(2)第1步:求出平均数
将该班参加考试学生成绩的平均数记为$a$，方差记为$t^{2}$，
则$a=\frac{1}{50}\times(30\times100 + 20\times90)=96$ (6分)
第2步:求出方差和标准差，得结果
所以$t^{2}=\frac{1}{50}\times\{30\times[16^{2}+(100 - 96)^{2}]+20\times[19^{2}+(90 - 96)^{2}]\}=322$ (8分)
又$\sqrt{322}\approx18$，所以$t\approx18$，即该班参加考试学生成绩的平均数为96分，标准差约为18分。 (10分)
(3)第1步:写出$\mu$和$\sigma$
由
(2)知$\mu = 96$，$\sigma = 18$，所以全年级学生的考试成绩$X$服从正态分布$N(96,18^{2})$ (11分)
第2步:分别求出各分数段的概率
所以$P(96 - 18\leq X\leq96 + 18)\approx0.68$，$P(X\geq96)=0.5$
所以$P(78\leq X\lt96)=P(96\leq X\lt114)\approx0.34$，$P(X\geq114)=P(X\lt78)\approx0.16$ (13分)
第3步:得出结论
故可将$X\geq114$定为$A$等级，$96\leq X\lt114$定为$B$等级，$78\leq X\lt96$定为$C$等级，$X\lt78$定为$D$等级。 (15分)