《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

1.设集合A={x|y=ln(x−1)},B={1,2,3,4},则A∪B=　　
A.(1,+∞)　　　　　
　B.{2,3,4}
C.(1,4]　　　　　　　
　D.[1,+∞)

答案： 1.D　集合的并运算+对数函数的定义域
解法一　基本量法
由x - 1＞0得x＞1，(题眼)所以A = (1, +∞)，A∪B = [1, +∞)，故选D。
解法二　排除法
集合B中有元素1，所以A∪B中必有元素1，(题眼)排除A、B、C，故选D。

2.在复平面内,若复数z对应的点Z在第二象限,则复数$\frac{1}{z}$对应的点Z所在象限为
A.第一象限　　　　　
　B.第二象限
C.第三象限　　　　　
　D.第四象限

答案： 2.A　复数的几何意义+复数的运算
解法一　设未知数法
设z = a + bi，a＜0，b＞0，则$\frac{z}{2i}=\frac{a + bi}{2i}=\frac{(a + bi)i}{2i^2}=\frac{-b + ai}{-2}=\frac{b}{2}-\frac{a}{2}i$，(题眼)又$\frac{b}{2}＞0$，$-\frac{a}{2}＞0$，所以在复平面内，$\frac{z}{2i}$对应的点$Z_1$所在象限为第一象限，故选A。
解法二　特殊值法
不妨设z = - 2 + 2i，(题眼)则$\frac{z}{2i}=\frac{-2 + 2i}{2i}=\frac{(-2 + 2i)i}{2i^2}=\frac{-2i - 2}{-2}=1 + i$，所以在复平面内，$\frac{z}{2i}$对应的点$Z_1$所在象限为第一象限，故选A。

3.某校为了提高学生的安全意识,组织高一年级全体学生进行安全知识竞赛答题活动,随机抽取8人的得分作为样本.分数从低到高依次为84,85,87,87，90,a,b,99,若这组数据的第75百分位数为94,则利用样本估计此次竞赛的平均分为
A.85　　　
　B.86　　　
　C.90　　　
　D.95

答案： 3.C　百分位数+平均数
因为8×75% = 6，所以这组数据的第75百分位数为$\frac{a + b}{2}=94$，(题眼)得a + b = 188，所以这组数据的平均数为$\frac{84 + 85 + 87 + 87 + 90 + a + b + 99}{8}=\frac{84 + 85 + 87 + 87 + 90 + 188 + 99}{8}=90$，故选C。

4.已知0＜α＜π,cosα=2sin$\frac{α}{2}$,则sin$\frac{α}{2}$=　　
A.$\frac{\sqrt{3}-1}{2}$　
　B.$\sqrt{3}-1$　
　C.$\frac{\sqrt{3}}{2}$　　
　D.$\frac{\sqrt{3}+1}{2}$

答案： 4.A　二倍角公式+解一元二次方程
解法一　公式法
因为$\cos\alpha = 1 - 2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}=2\sin\frac{\alpha}{2}$，(题眼)所以$2\sin^{2}\frac{\alpha}{2}+2\sin\frac{\alpha}{2}-1 = 0$，解得$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{-1\pm\sqrt{3}}{2}$。由0＜α＜π得0＜$\frac{\alpha}{2}$＜$\frac{\pi}{2}$，所以$\sin\frac{\alpha}{2}＞0$，所以$\sin\frac{\alpha}{2}=\frac{-1 + \sqrt{3}}{2}$，故选A。
解法二　排除法
由0＜α＜π得0＜$\frac{\alpha}{2}$＜$\frac{\pi}{2}$，所以$\sin\frac{\alpha}{2}＞0$，$\cos\alpha = 2\sin\frac{\alpha}{2}＞0$，从而0＜α＜$\frac{\pi}{2}$，(题眼)所以0＜$\frac{\alpha}{2}$＜$\frac{\pi}{4}$，$\sin\frac{\alpha}{2}\in(0,\frac{\sqrt{2}}{2})$，易知B、C、D三个选项的数值均大于$\frac{\sqrt{2}}{2}$，故选A。

5.已知双曲线E:$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$(a＞0,b＞0)与双曲线E₂:$\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{9}=1$的离心率相同,且双曲线E₁的顶点是双曲线E₂的焦点,则双曲线E₁的虚轴长为
A.$\frac{15}{4}$　　
　B.$\frac{15}{2}$　　　
　C.$\frac{24}{5}$　　　
　D.10

答案： 5.B　双曲线的离心率
由题知$\sqrt{a^{2}+b^{2}}/a=\sqrt{1 + (\frac{b}{a})^{2}}=\frac{5}{4}$，所以$\frac{b}{a}=\frac{3}{4}$，(题眼)易知双曲线E的右焦点为(5,0)，所以a = 4，b = 3，双曲线E的虚轴长2b = 6，故选B。

6.球面上两点间距离的定义为经过球面上两点的大圆在这两点间劣弧的长度(大圆就是经过球心的平面截球面所得的圆).设地球的半径为R,若甲地位于北纬45°东经120°,乙地位于北纬45°西经60°,则甲、乙两地的球面距离为
　
A.$\frac{\sqrt{2}\pi}{6}$R　　B.$\frac{\sqrt{2}\pi}{3}$R　　C.$\frac{\pi}{2}$R　　　D.$\frac{\sqrt{2}\pi}{2}$R

答案：
6.C经纬度的概念+弧长公式　如图，东经120°与西经60°两条经线刚好构成一个大圆，(题眼)甲地(点B)与球心(点O)
　　　　　　
的连线与赤道面所成的角为45°，即∠BOD = 45°，同理可得∠AOC = 45°，所以∠AOB = 90° = $\frac{\pi}{2}$ rad，因此甲、乙两地的球面距离即劣弧AB = $\frac{\pi}{2}$R，故选C。
　考情速递　跨地理学科　本题涉及地理学科中经纬度的相关知识，对学生融合跨学科知识的能力提出了一定要求。东经n°与西经(180 - n)°在同一个大圆上，纬度指的是球面上一点到球心的连线，与赤道面所形成的线面角。

7.数列$\{a_n\}$满足$a_1=2^{10}$，$a_{n + 1} = \begin{cases}3a_n + 1, & a_n为奇数\\\frac{1}{2}a_n, & a_n为偶数\end{cases}$，则$a_{2024}=$　　
A.5　　　　B.4　　　　C.2　　　　D.1

答案： 7.B　周期数列　由题知，a₂ = 2¹⁰¹⁰，a₃ = 2¹⁰⁹，…，a₁₀₁₀ = 2² = 4，a₁₀₁₁ = 2，a₁₀₁₂ = 1，a₁₀₁₃ = 4，…，可知该数列从第1010项开始为周期数列，周期为3，又2024 - 3×338 = 1010，所以a₂₀₂₄ = a₁₀₁₀ = 4，故选B。

8.已知$y = f(x)$是定义在$R$上的奇函数,且对于任意$x$均有$f(x + 1) + f(x - 1) = 0$,当$0 ＜ x \leq 1$时,$f(x) = 2x - 1$,若$f[\ln(e^a)] ＞ f(\ln a)$(e是自然对数的底数),则实数$a$的取值范围是
A.$e^{-1 + 2k} ＜ a ＜ e^{1 + 2k}(k \in Z)$
B.$e^{-\frac{1}{2} + 2k} ＜ a ＜ e^{\frac{1}{2} + 2k}(k \in Z)$
C.$e^{-1 + 4k} ＜ a ＜ e^{1 + 4k}(k \in Z)$
D.$e^{-\frac{1}{2} + 4k} ＜ a ＜ e^{\frac{1}{2} + 4k}(k \in Z)$

答案：
8.D　函数的奇偶性、周期性、单调性及图象的对称性+利用函数的单调性解不等式　因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f
(0) = 0，且f(x)的图象关于原点对称。因为f(x + 1) + f(x - 1) = 0，所以f(x + 1) = -f(x - 1) = f(1 - x)，所以f(x + 4) = f[1 - (x + 3)] = -f(2 + x) = -f[1 - (x + 1)] = -f(-x) = f(x)，

所以f(-1 + x) = f(3 + x) = f[1 - (2 + x)] = f(-1 - x)，f(2 + x) = f(-2 + x) = -f(2 - x)，所以函数f(x)的周期为4，且其图象分别关于直线x = 1 + 2k(k∈Z)和点(2k, 0)(k∈Z)对称。当0＜x≤1时，f(x) = 2ˣ - 1，可画出函数f(x)在区间[-2, 2]上的大致图象如图所示，由图可知，在区间[-2, 2]上，要满足f[ln(ea)] = f(1 + lna)＞f(lna)，只需 - $\frac{3}{2}$＜lna＜$\frac{1}{2}$，即e⁻³/²＜a＜e¹/²。又函数f(x)的周期为4，所以e⁻³/²⁺⁴ᵏ＜a＜e¹/²⁺⁴ᵏ(k∈Z)，故选D。

9.某学校开展测量旗杆高度的数学建模活动,学生需通过建立模型、实地测量、迭代优化完成此次活动.
在以下不同小组设计的初步方案中，一定可以计算出旗杆高度的方案有
A.在水平地面上任意寻找两点A,B,分别测量旗杆顶端的仰角α,β,再测量A,B两点间的距离
B.在旗杆对面找到某建筑物(低于旗杆),测得建筑物的高度为h,在该建筑物底部和顶部分别测得旗杆顶端的仰角α和β
C.在地面上任意寻找一点A,测量旗杆顶端的仰角α,再测量A到旗杆底部的距离
D.在旗杆的正前方A处测得旗杆顶端的仰角α,正对旗杆前行5m到达B处,再次测量旗杆顶端的仰角β

答案：
9.BCD　高度测量问题+正、余弦定理的应用　设旗杆CD的高度为x，对于A，当A，B，旗杆底部三点不共线时，如图1，已知AB的长度，∠CAD = α，∠CBD = β，无法求出x，故A错误；对于B，如图2，设旗杆对面的某建筑物为AB，则BD = $\frac{x - h}{tanβ}$ = $\frac{x}{tanγ}$，可求出x的值，故B正确；对于C，如图3，$\frac{x}{AD}$ = tanα，可求出x的值，故C正确；对于D，如图4，$\frac{x}{tanα}$ - $\frac{x}{tanβ}$ = 5，可求出x的值，故D正确。综上，选BCD。