《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

16.(15分)如图，四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁中，四边形ABCD是边长为2的菱形，对角线AC与BD交于点O，∠BAD = 60°，∠A₁AB = ∠A₁AD，AA₁ = $\sqrt{6}$，∠A₁AC为锐角，且四棱锥A₁ - BCC₁B₁的体积为2。

(1)求证：A₁O⊥平面ABCD；
(2)求直线AD₁与平面BDD₁B₁所成角的正弦值。

答案：
16.线面垂直的判定+线面角
解:
(1)第1步:利用等体积法求四棱柱的高
如图1,设四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的高为h,连接BC₁,
因为四边形BCC₁B₁是平行四边形，
所以S△BB₁C = S△B₁C₁C,所以V三棱锥A - B₁C₁C = V三棱锥A - BB₁C,
所以V四棱锥A - BCC₁B₁ = V三棱锥A - BB₁C + V三棱锥A - B₁C₁C = 2V三棱锥A - BB₁C = 2V三棱锥B₁ - ABC. (2分)

所以2×$\frac{1}{3}$×S△ABC×h = 2,且S△ABC = $\frac{1}{2}$×2×2×sin120° = $\sqrt{3}$. (3分)
所以h = $\sqrt{3}$,即四棱柱ABCD - A₁B₁C₁D₁的高为$\sqrt{3}$.(题眼) (4分)
第2步:证明AB₁ = AD₁
因为△ABD为正三角形,所以AO = $\frac{1}{2}$BD = $\sqrt{3}$. (5分)
连接AB₁,AD₁,因为∠A₁AB₁ = ∠A₁AD₁,AB₁ = AD₁,
所以△A₁AB₁ ≌ △A₁AD₁,于是AB₁ = AD₁.
第3步:证明O'与O重合
过点A₁作平面ABCD的垂线，垂足为O',连接O'B,O'D,则△A₁O'B ≌ △A₁O'D,
所以O'B = O'D,连接O'A,从而△AO'B ≌ △AO'D,故∠BAO' = ∠DAO',
所以点O'在对角线AC上.因为AA₁ = $\sqrt{6}$,AO' = $\sqrt{3}$,
所以AO' = $\sqrt{3}$ = $\frac{1}{2}$AC,故点O'为对角线AC与BD的交点，即点O'与O重合. (7分)
第4步:得结果
所以A₁O⊥平面ABCD. (8分)
(2)第1步:证明AC与BD垂直
因为四边形ABCD是边长为2的菱形，所以AC⊥BD.
第2步:建立空间直角坐标系
由上可知:OA,OB,OA₁两两垂直，
以O为坐标原点,OA,OB,OA₁的方向分别为x,y,z轴的正方向，建立如图2所示的空间直角坐标系.

第3步:写出相关点和向量的坐标
则A($\sqrt{3}$,0,0),B(0,1,0),D₁( - $\sqrt{3}$, - 1,$\sqrt{3}$),B₁( - $\sqrt{3}$,1,$\sqrt{3}$). (10分)
所以$\overrightarrow{AD₁}$ = ( - 2$\sqrt{3}$, - 1,$\sqrt{3}$). (11分)
第4步:求出平面BDD₁B₁的法向量
设平面BDD₁B₁的法向量为$\overrightarrow{n}$ = (x,y,z),
$\overrightarrow{BD}$ = (0, - 2,0),$\overrightarrow{B₁D₁}$ = ( - $\sqrt{3}$, - 2,$\sqrt{3}$),
$\begin{cases}\overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{BD} = - 2y = 0 \\ \overrightarrow{n} \cdot \overrightarrow{B₁D₁} = - \sqrt{3}x - 2y + \sqrt{3}z = 0\end{cases}$,可取$\overrightarrow{n}$ = (1,0,1). (12分)
第5步:求出直线AD₁与平面BDD₁B₁所成角的正弦值
设直线AD₁与平面BDD₁B₁所成的角为θ,
则sinθ = |cos＜$\overrightarrow{AD₁}$,$\overrightarrow{n}$＞| = $\frac{|\overrightarrow{AD₁} \cdot \overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{AD₁}| \cdot |\overrightarrow{n}|}$ = |$\frac{- \sqrt{3}}{4×\sqrt{2}}$| = $\frac{\sqrt{6}}{8}$. (14分)
所以直线AD₁与平面BDD₁B₁所成角的正弦值为$\frac{\sqrt{6}}{8}$. (15分)

17.(15分)已知函数f(x)=e^x,g(x)=lnx.
(1)若直线l与函数f(x)和g(x)的图象均相切,试讨论直线l的条数;
(2)设a,b＞0,f(1/a)+g(1/b)=1,求证:a+b＞ab.

答案： 17.导数的几何意义+利用导数证明不等式+换元法+构造法
解:
(1)第1步:设切点坐标，对函数f(x)，g(x)求导
设直线l与函数f(x)的图象相切于点A(x₁,e^x₁)，与函数g(x)=lnx的图象相切于点B(x₂,lnx₂)。
因为f'(x)=e^x，g'(x)=1/x，所以e^x₁ = 1/x₂。　　　　　　(1分)
第2步:列出关于x₁，x₂的式子，再转化为关于x₁的等式
直线l的方程为y - e^x₁ = e^x₁(x - x₁)，则lnx₂ - e^x₁ = e^x₁(x₂ - x₁)，消元可得，x₁ + 1 + (1 - x₁)e^x₁ = 0。(题眼)　　　　　(2分)
第3步:构造函数，利用导数研究函数的单调性
令h(x)=x + 1 + (1 - x)e^x，则h'(x)=1 - xe^x。
令t(x)=h'(x)，则t'(x)=-(x + 1)e^x。　　　　　　　(3分)
当x∈(-∞,-1)时，t'(x)＞0，t(x)在(-∞,-1)上单调递增；当x∈(-1,+∞)时，t'(x)＜0，t(x)在(-1,+∞)上单调递减。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(4分)
第4步:利用零点存在定理求出隐零点
又x＜-1时，h'(x)=1 - xe^x＞0，h'
(0)=1＞0，h'
(1)=1 - e＜0，故存在x₀∈(0,1)，使得h'(x₀)=0。　　　　　　(5分)
故在(-∞,x₀)上，h'(x)＞0，h(x)单调递增，在(x₀,+∞)上，h'(x)＜0，h(x)单调递减。　　　　　　　　　　　　　(6分)
第5步:利用零点存在定理求得切点个数，进而得到切线条数
又h(x₀)=x₀ + 1 + (1 - x₀)e^x₀＞0，h(-2)=-1 + 3e⁻²＜0，h
(2)=3 - e²＜0，
所以h(x)存在2个零点，故直线l的条数为2。　　　　　(7分)
(2)第1步:换元，结合条件得m + n = ln(1 - k) + e^k
令m = 1/a，n = 1/b，则m,n＞0。
由f(1/a)+g(1/b)=1，得e^m + lnn = 1，又e^m＞1，故lnn＜0。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(9分)
令k = lnn，k＜0，则n = e^k，e^m = 1 - k，即m = ln(1 - k)。(10分)
故m + n = ln(1 - k) + e^k。
第2步:构造函数p(k)，求p(k)的值域
令p(k)=ln(1 - k) + e^k，k＜0，
则p'(k)= - 1/(1 - k)+e^k=( - 1 + e^k(1 - k))/(1 - k)。　　　　　　　　(12分)
令q(k)= - 1 + e^k(1 - k)，k＜0，
则q'(k)= - ke^k＜0，故q(k)在(-∞,0)上单调递减，故q(k)＞ - 1 + e⁰(1 - 0)=0。　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分)
故p'(k)=( - 1 + e^k(1 - k))/(1 - k)＞0，故p(k)在(-∞,0)上单调递增，故p(k)＞ln(1 - 0) + e⁰ = 1。
第3步:总结
故m + n＞1，即1/a + 1/b＞1，故a + b＞ab。　　　　　　　(15分)