《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

11. 已知函数$f(x)$的定义域为$R$，且$f(x + y)f(x - y) = f^2(x) - f^2(y)$，$f(1) = 1$，$f(2x + 1)$为偶函数，则
A. $f(0) = 0$
B. $f(x)$为偶函数
C. $f(2 + x) = -f(2 - x)$
D. $\sum_{k = 0}^{24}f(k) = 0$

答案： 11.ACD　抽象函数+函数图象的对称性+函数的奇偶性+函数求值赋值法+代数推理法
第1步：求f
(0)
令x = y = 0，得f²
(0) = f²
(0) - f²
(0) = 0，所以f
(0) = 0，所以选项A正确。(另解：令x = y = $\frac{1}{2}$得f
(1)f
(0) = f²($\frac{1}{2}$) - f²($\frac{1}{2}$) = 0，因为f
(1) = 1 ≠ 0，所以f
(0) = 0)
第2步：判断函数f(x)的奇偶性
令x = 0，得f(y)f( - y) = f
(0) - f²(y)，因为f
(0) = 0，所以f(y)f( - y) = - f²(y)，即f(y)[f(y) + f( - y)] = 0，因为f(y)不恒为0，所以f(y) + f( - y) = 0，即f(x) + f( - x) = 0，所以函数f(x)是奇函数，所以选项B错误。
第3步：判断函数f(x)图象的对称性及周期性
因为函数f(x)是奇函数，所以函数f(x)的图象关于原点对称。因为函数f(2x + 1)是偶函数，所以f(2x + 1) = f( - 2x + 1)，所以f(1 + x) = f(1 - x)，所以f(x)的图象关于直线x = 1对称，所以函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，(题眼)即f(2 + x) = - f(2 - x)成立，所以选项C正确，且函数f(x)是以4为周期的周期函数。
第4步：求$\sum_{k = 1}^{2024}f(k)$的值
因为f
(0) = 0，f
(1) = 1，并且函数f(x)的图象关于直线x = 1对称，所以f
(2) = 0，又因为函数f(x)的图象关于点(2，0)对称，所以f
(3) = - f
(1) = - 1，因为函数f(x)是以4为周期的周期函数，所以f
(4) = f
(0) = 0，即f
(1) + f
(2) + f
(3) + f
(4) = 1 + 0 + ( - 1) + 0 = 0，再由周期性得，$\sum_{k = 1}^{2024}f(k)$ = 0，所以选项D正确。
综上，选ACD。
二级结论　双对称函数
(1)若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于直线x = b对称，则函数f(x)的图象关于点(2b - a，0)对称，又关于直线x = 2a - b对称。
证明：因为函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，所以f(x) = - f(2a - x)。因为函数f(x)的图象关于直线x = b对称，所以f(x) = f(2b - x)，所以f(2a - x) = f(2b - 2a + x)。
所以f(x) = - f(2a - x)可转化为f(2b - x) = - f(2b - 2a + x)，所以函数f(x)的图象关于点(2b - a，0)对称；因为f(2b - x) = - f(2a - 2b + x)，所以f(x) = f(2b - x)可转化为 - f(2a - x) = - f(2a - 2b + x)，即f(2a - x) = f(2a - 2b + x)，所以函数f(x)的图象关于直线x = 2a - b对称。
(2)若函数f(x)的图象具有双对称性，则函数f(x)是周期函数。即若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则函数f(x)是周期函数，且周期为2|a - b|；若函数f(x)的图象关于直线x = a对称，又关于直线x = b对称，则函数f(x)是周期函数，且周期为2|a - b|；若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于直线x = b对称，则函数f(x)是周期函数，且周期为4|a - b|。
考情速递　以抽象函数为背景，突出对数学本质的考查　2023新课标I卷第11题通过抽象函数考查函数求值、函数奇偶性及函数极值问题。而本题通过抽象函数考查了函数求值、函数图象的对称性、函数奇偶性及周期性。两题的共性均以抽象函数为背景，突出了对数学本质的考查。

12. 抛物线$x^2 = \frac{1}{a}y$的准线方程为$y = 1$，则实数$a$的值为________。

答案： 12. - $\frac{1}{4}$　抛物线的准线方程　因为抛物线方程为x² = $\frac{1}{a}$y，所以其准线方程为y = - $\frac{1}{4a}$，(题眼)即 - $\frac{1}{4a}$ = 1，所以a = - $\frac{1}{4}$。
知识积累　抛物线的焦点坐标、准线方程
若抛物线的标准方程为y² = ax(a ≠ 0)，则其焦点坐标为($\frac{a}{4}$，0)，准线方程为x = - $\frac{a}{4}$；若抛物线的标准方程为x² = ay(a ≠ 0)，则其焦点坐标为(0，$\frac{a}{4}$)，准线方程为y = - $\frac{a}{4}$。

13. 在$\triangle ABC$中，内角$A$，$B$，$C$的对边分别为$a$，$b$，$c$，已知$a = \sqrt{2}$，$b = 4$，$c\cos B + a = 0$，则$c = $________。点$D$在线段$AB$上，且$\angle CDA = \frac{3\pi}{4}$，则$CD = $________。

答案：
13. $\sqrt{10}$，$\frac{4\sqrt{5}}{5}$　正、余弦定理+同角三角函数基本关系式
解法一　由c·cosB + a = 0，得c·$\frac{a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}$ + a = 0，化简得3a² + c² - b² = 0。又因为a = $\sqrt{2}$，b = 4，所以c = $\sqrt{10}$，cosA = $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ = $\frac{16 + 10 - 2}{2×4×\sqrt{10}}$ = $\frac{3\sqrt{10}}{10}$，因为A∈(0，π)，所以sinA = $\sqrt{1 - cos^{2}A}$ = $\frac{\sqrt{10}}{10}$。因为点D在线段AB上，且∠CDA = $\frac{3π}{4}$，所以sin∠CDA = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。在三角形ACD中，由正弦定理得，$\frac{CD}{sinA}$ = $\frac{AC}{sin∠CDA}$，(题眼)即$\frac{CD}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$ = $\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，则CD = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。
解法二　数形结合法　c·cosB + a = 0，即c·cosB = - a，(题眼)所以过点A向直线BC作垂线，垂足一定落在CB的延长线上。如图，设垂足为E，且BE = BC = a = $\sqrt{2}$，在直角三角形ACE中，CE = 2$\sqrt{2}$，AC = b = 4，所以AE = $\sqrt{4^{2}-(2\sqrt{2})^{2}}$ = 2$\sqrt{2}$。在直角三角形ABE中，c = AB = $\sqrt{(2\sqrt{2})^{2}+(\sqrt{2})^{2}}$ = $\sqrt{10}$。在△ABC中，cos∠BAC = $\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}$ = $\frac{16 + 10 - 2}{2×4×\sqrt{10}}$ = $\frac{3\sqrt{10}}{10}$，所以sin∠BAC = $\frac{\sqrt{10}}{10}$。因为点D在线段AB上，且∠CDA = $\frac{3π}{4}$，所以sin∠CDA = $\frac{\sqrt{2}}{2}$。在三角形ACD中，由正弦定理得，$\frac{CD}{sin∠BAC}$ = $\frac{AC}{sin∠CDA}$，即$\frac{CD}{\frac{\sqrt{10}}{10}}$ = $\frac{4}{\frac{\sqrt{2}}{2}}$，则CD = $\frac{4\sqrt{5}}{5}$。

14. 已知不等式$e^x + \frac{1}{x} - 2ax \geq b$对任意的实数$x$恒成立，则$\frac{b}{a}$的最大值为________。

答案：
14.2 - 2ln2　导数的几何意义+利用导数研究函数最值
第1步：根据图形判断什么时候$\frac{b}{a}$取最大值
不等式e^{x - 1} - 2ax ≥ b对任意实数x恒成立，即e^{x - 1} ≥ 2ax + b对任意实数x恒成立。
函数f(x) = e^{x - 1}的大致图象如图所示，而y = 2ax + b是一条直线，若e^{x - 1} ≥ 2ax + b对任意实数x恒成立，则函数f(x) = e^{x - 1}的图象恒在直线y = 2ax + b的上方，所以直线y = 2ax + b的斜率大于0，即a＞0。设直线y = 2ax + b与x轴的交点为A( - $\frac{b}{2a}$，0)，所以当点A越往左运动时， - $\frac{b}{2a}$越小，即$\frac{b}{a}$越大，所以当直线y = 2ax + b与函数f(x) = e^{x - 1}的图象相切时，$\frac{b}{a}$取最大值。(题眼)
第2步：求$\frac{b}{a}$的表达式
当直线y = 2ax + b与函数f(x) = e^{x - 1}的图象相切时，设切点为(t，e^{t - 1})，f'(x) = e^{x - 1}，所以2a = f'(t) = e^{t - 1}。又因为2at + b = e^{t - 1}，所以2a = 2at + b，即2 = 2t + $\frac{b}{a}$，所以$\frac{b}{a}$ = - 2t + 2。
第3步：求t的范围及$\frac{b}{a}$的最大值
因为2a = e^{t - 1}，所以t - 1 = ln(2a)，所以t = ln(2a) + 1，令g(a) = ln(2a) + 1，a＞0，
所以g'(a) = $\frac{1}{a}$。
因为g′
(1) = 1，当0＜a＜1时，g'(a)＜1；当a＞1时，g'(a)＞1，
所以函数g(a)在(0，1)上单调递减，在(1， + ∞)上单调递增，当a = 1时，g(a)取最小值，且最小值为ln2，即t的最小值为ln2。因为$\frac{b}{a}$ = - 2t + 2是关于t的单调递减函数，所以当t取最小值ln2时，$\frac{b}{a}$取最大值，且最大值为2 - 2ln2。

15.(13分)荥阳境内广武山上汉王城与霸王城之间的鸿沟,即为象棋棋盘上“楚河汉界”的历史原型,荥阳因此被授予“中国象棋文化之乡”的称号.有甲、乙、丙三位同学进行象棋比赛,其中每局只有两人比赛,每局比赛必分胜负,本局比赛结束后,负的一方下场.第1局由甲、乙对赛,接下来丙上场进行第2局比赛,来替换负的那个人,每次比赛负的人排到等待上场的人之后参加比赛.设各局中双方获胜的概率均为$\frac{1}{2}$,各局比赛的结果相互独立.
(1)求前3局比赛甲都取胜的概率;
(2)用X表示前3局比赛中乙获胜的次数,求X的分布列和数学期望.

答案： 15.相互独立事件的概率乘法公式+离散型随机变量分布列和数学期望
解:
(1)前3局比赛甲都获胜的概率为P = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{8}$。(4分)
(2)第1步:确定随机变量X的可能取值
X的所有可能取值为0，1，2，3。(5分)
第2步:求X = 0的概率
其中，X = 0表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙输，则
P(X = 0) = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{4}$。(6分)
第3步:求X = 1的概率
X = 1表示第1局乙输，第3局是乙上场，且乙赢，或者第1局乙赢，且第2局乙输，
则P(X = 1) = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{2}$。(8分)
第4步:求X = 2的概率
X = 2表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙输，
则P(X = 2) = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{8}$。(9分)
第5步:求X = 3的概率
X = 3表示第1局乙赢，且第2局乙赢，第3局乙赢，
则P(X = 3) = $\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$ = $\frac{1}{8}$。(10分)
第6步:列表
综上，X的分布列为
| X | 0 | 1 | 2 | 3 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| P | $\frac{1}{4}$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{1}{8}$ | $\frac{1}{8}$ |
(11分)
第7步:求随机变量X的数学期望
故X的数学期望为E(X) = 0×$\frac{1}{4}$ + 1×$\frac{1}{2}$ + 2×$\frac{1}{8}$ + 3×$\frac{1}{8}$ = $\frac{9}{8}$。(13分)