《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

14.机场为旅客提供的圆锥形纸杯如图所示,该纸杯母线长为12cm,开口直径为8cm.旅客使用纸杯喝水时,当水面与纸杯内壁所形成的椭圆经过母线中点时,椭圆的离心率等于________.
　　　　　 　　　

答案：
14.$\frac{3\sqrt{17}}{17}$　椭圆的离心率+线面位置关系
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如图,由题可得,圆锥的轴截面是等腰三角形ABC,(题眼)其腰长AC=AB=12,底边BC=8。设O是圆锥底面的圆心,M为AB的中点,过点M作MN⊥BC于点N,则N为OB的中点,所以CN=6。连接AO,CM,易得AO=8$\sqrt{2}$,MN=4$\sqrt{2}$,所以CM=2$\sqrt{17}$。设P为CM的中点,EP为椭圆的短半轴,则根据椭圆的对称性及圆锥的结构特征可知EP与圆锥的底面平行,设AP∩BC=Q,AE交圆O于点G,过点M作MR//AQ交BC于点R,连接GQ,则可知EP⊥CM,EP⊥AO,EP//GQ,所以EP⊥平面ABC,所以EP⊥BC,从而GQ⊥BC。此时有CQ=QR=RB=$\frac{1}{3}$BC=$\frac{8}{3}$,QO=$\frac{4}{3}$,连接OG,则GQ=$\sqrt{OG² - OQ²}$=$\frac{8\sqrt{2}}{3}$。因为PQ=$\frac{1}{2}$MR=$\frac{1}{4}$AQ,所以AP=$\frac{3}{4}$AQ,因为EP//GQ,所以EP=$\frac{3}{4}$GQ=2$\sqrt{2}$,所以该椭圆的半焦距为$\sqrt{(\frac{2\sqrt{17}}{2})² - (2\sqrt{2})²}$=3,所以该椭圆的离心率e=$\frac{3}{\sqrt{17}}$=$\frac{3\sqrt{17}}{17}$。

15.(13分)已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，且S₄ = 4S₂，a₂ₙ = 2aₙ + 1(n∈N).
　(1)求数列{aₙ}的通项公式;
　(2)数列{bₙ}满足b₁ = 3，令aₙ·bₙ = aₙ₊₂·bₙ₊₁，求证:∑ₖ₌₁ⁿbₖ ＜ 9/2

答案：
等差数列+累乘法求通项公式+裂项相消法求和+不等式的证明
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(1)

(2)由
(1)→
(2)由
(1)→{bn}的递推关系式→累乘法→{bn}的通项公式→裂项相消法求和→证明不等式成立
解:
(1)设等差数列{an}的公差为d。
由S3 = 4S2，a2n = 2an + 1，
得$\begin{cases}3a_1 + 3d = 4(2a_1 + d) \\ a_1 + (2n - 1)d = 2[a_1 + (n - 1)d] + 1 \end{cases}$，（利用基本量建立方程组，求解方程组）
即$\begin{cases}3a_1 + 3d = 8a_1 + 4d \\ a_1 + (2n - 1)d = 2a_1 + 2(n - 1)d + 1 \end{cases}$，化简为$\begin{cases}4a_1 + 6d = 8a_1 + 4d \\ a_1 + (2n - 1)d = 2a_1 + 2(n - 1)d + 1 \end{cases}$
解得a1 = 1，d = 2。
所以an = 2n - 1（n∈N*）。（6分）
(2)由
(1)知，(2n - 1)bn = (2n + 3)bn + 1，
即$\frac{b_{n + 1}}{b_n} = \frac{2n - 1}{2n + 3}$，
所以当n≥2时，
$b_n = \frac{b_n}{b_{n - 1}} \cdot \frac{b_{n - 1}}{b_{n - 2}} \cdots \frac{b_2}{b_1} \cdot b_1 = \frac{2n - 3}{2n + 1} \cdot \frac{2n - 5}{2n - 1} \cdots \frac{3}{7} \cdot \frac{1}{5} \cdot 3 = \frac{9}{(2n - 1)(2n + 1)} = \frac{9}{2}(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1})$，
b1 = 3符合该式，（利用累乘法得到通项公式）
所以$\sum_{k = 1}^{n}b_k = \frac{9}{2}(1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} - \frac{1}{5} + \cdots + \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}) = \frac{9}{2}(1 - \frac{1}{2n + 1}) ＜ \frac{9}{2}$。（通过裂项相消法进行求和）（13分）
考情速递 数列是高中数学的重要内容，也是高考的考查热点。等差数列、等比数列是常见的数列，根据条件结合基本量建立方程(组)是常规解法，求和时主要根据通项公式的特征选用裂项相消法或错位相减法，要注意掌握并能熟练应用。

16.(15分)已知函数f(x) = aln(x + 2) - 1/2x²(a∈R).
　(1)讨论函数f(x)的单调性.
　(2)若函数f(x)有两个极值点，
　　　(i)求实数a的取值范围;
　　　(ii)证明:函数f(x)有且只有一个零点.

答案： 导数的应用+函数的单调性、极值、零点
解:
(1)第1步:确定f(x)的定义域，求导，得f'(x)
由题知f(x)的定义域为( - 2，+∞)。
$f'(x) = \frac{a}{x + 2} - x = \frac{-x^2 - 2x + a}{x + 2} = \frac{-(x + 1)^2 + a + 1}{x + 2}$，（函数的导函数是处理有关函数单调性、最值、极值问题的重要工具）
第2步:分类讨论，得函数f(x)的单调性
①当a≤ - 1时，f'(x)≤0，且f'(x)不恒为0，所以f(x)在( - 2，+∞)上单调递减；
②当 - 1＜a＜0时，
若x∈( - 2， - $\sqrt{a + 1}$ - 1)，则f'(x)＜0，
若x∈( - $\sqrt{a + 1}$ - 1，$\sqrt{a + 1}$ - 1)，则f'(x)＞0，
若x∈( $\sqrt{a + 1}$ - 1，+∞)，则f'(x)＜0，
所以f(x)在( - 2， - $\sqrt{a + 1}$ - 1)上单调递减，在( - $\sqrt{a + 1}$ - 1，$\sqrt{a + 1}$ - 1)上单调递增，在( $\sqrt{a + 1}$ - 1，+∞)上单调递减；
③当a≥0时，若x∈( - 2，$\sqrt{a + 1}$ - 1)，则f'(x)＞0，若x∈( $\sqrt{a + 1}$ - 1，+∞)，则f'(x)＜0，
所以f(x)在( - 2，$\sqrt{a + 1}$ - 1)上单调递增，在( $\sqrt{a + 1}$ - 1，+∞)上单调递减。（参数的取值会对导函数的正负产生影响，所以要通过对参数的取值情况进行分类讨论，判断各种情况下导函数的正负，由此确定函数的单调性）（7分）
(2)(i)由
(1)知 - 1＜a＜0，故a的取值范围是( - 1，0)。（9分）
(ii)第1步:结合
(1)得f(x)的极大值
由
(1)知f(x)的极大值为f( $\sqrt{a + 1}$ - 1)，
第2步:数形结合，利用零点存在定理进行证明
因为f( $\sqrt{a + 1}$ - 1) = aln( $\sqrt{a + 1}$ + 1) - $\frac{1}{2}$( $\sqrt{a + 1}$ - 1)^2＜0，f(e^4 - 2) = 4 - $\frac{1}{2}$(e^4 - 2)^2＞0，（零点存在定理是判断函数是否有零点的重要方法）
所以函数f(x)有且只有一个零点。（15分）
考情速递 函数与导数问题是高考热点，在新高考改革下，导数问题的要求相对来说有所降低，所以难度也有所下降，同时考查位置也可能适当前移，高考考查趋势是以函数的单调性、极值、零点为主，重点考查导数的基本应用，考查考生的运算求解能力，需要考生掌握与之有关的基础知识及处理问题的基本方法。