《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

12.已知向量$\vec{a}$=(1,3)，$\vec{b}$=(3,4)，若(m$\vec{a}$ - $\vec{b}$)⊥($\vec{a}$ + $\vec{b}$)，则m = ________。

答案： 因为a=(1,3),b=(3,4),所以a + b=(4,7),(题眼)又(ma - b)⊥(a + b),所以(ma - b)·(a + b)=(m - 3)×4+(3m - 4)×7=25m - 40 = 0,解得m=$\frac{8}{5}$
解法二　因为a=(1,3),b=(3,4),所以a·b=1×3 + 3×4 = 15,|a| = $\sqrt{10}$,|b| = 5,(题眼)又(ma - b)⊥(a + b),所以(ma - b)·(a + b)=ma² - b²+(m - 1)a·b=10m - 25 + 15(m - 1)=0,解得m=$\frac{8}{5}$.

13.某学校组织学生参加劳动实践活动，其中2名男生和4名女生参加农场体验活动，体验活动结束后，农场主与6名同学站成一排合影留念，则2名男生相邻且农场主站在正中间的排列种数为________：(用数字作答)

答案： 13.192　分步乘法计数原理+相邻问题　2名男生相邻且农场主站在正中间可分三步完成:第一步,2名男生相邻，有$A_{2}^{2}$种排法;第二步，相邻男生只能站在第一二个位置，第二三个位置，第五六个位置，第六七个位置，共有4种排法;(题眼)第三步,4名女生排在剩下的位置有$A_{4}^{4}$种排法。结合分步乘法计数原理,2名男生相邻且农场主站在正中间的排列种数为$A_{2}^{2}$×4×$A_{4}^{4}$ = 192.
知识积累:
(1)相邻问题采取“捆绑法”;
(2)不相邻问题采取“插空法”;
(3)有限制元素采取“优先法”

14.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一种称为“羡除”的几何体，该几何体的一种结构是三个面均为梯形，其他两面为三角形的五面体。如图所示，四边形ABCD，ABFE，CDEF均为等腰梯形，AB//CD//EF，AB = 6，CD = 8，EF = 10，EF到平面ABCD的距离为5，CD与AB间的距离为10，则这个羡除的体积V = ________。

答案：
14.200　棱柱、棱锥的体积　如图，
连接CE,BE,DB,AC,则这个羡除的体积V = V四棱锥E - ABCD + V三棱锥C - BEF
　　　　　　　　　　　　　
(题眼)V四棱锥E - ABCD = $\frac{1}{3}$×$\frac{1}{2}$×(6 + 8)×10×5 = $\frac{350}{3}$.
因为$\frac{V_{三棱锥C - BEF}}{V_{三棱锥C - EAB}}$ = $\frac{S_{\triangle EBF}}{S_{\triangle EBA}}$ = $\frac{EF}{AB}$ = $\frac{10}{6}$ = $\frac{5}{3}$,$\frac{V_{三棱锥E - ABC}}{V_{四棱锥E - ABCD}}$ = $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{四边形ABCD}}$ = $\frac{\frac{1}{2}×AB×h}{\frac{1}{2}×(AB + CD)×h}$ = $\frac{AB}{AB + CD}$ = $\frac{6}{6 + 8}$ = $\frac{3}{7}$,所以V三棱锥C - BEF = $\frac{5}{3}$V三棱锥C - EAB = $\frac{5}{3}$V三棱锥E - ABC = $\frac{5}{3}$×$\frac{3}{7}$V四棱锥E - ABCD = $\frac{5}{7}$V四棱锥E - ABCD = $\frac{5}{7}$×$\frac{350}{3}$ = $\frac{250}{3}$,所以这个羡除的体积V = V四棱锥E - ABCD + V三棱锥C - BEF = $\frac{350}{3}$ + $\frac{250}{3}$ = 200.故答案为200.

15.(13分)如图,△ABC中,点D为边BC上一点,且满足$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}$
(1)证明:∠BAC + ∠DAC = π;
(2)若AB = 2,AC = 1,BC = $\sqrt{7}$,求AD的长度.

答案： 15.正弦定理+余弦定理+三角形的面积公式
解:
(1)第1步:根据正弦定理得边角关系式
在△ABC中,由正弦定理得$\frac{AB}{BC}=\frac{\sin C}{\sin\angle BAC}$
在△ADC中，由正弦定理得$\frac{AD}{CD}=\frac{\sin C}{\sin\angle DAC}$　　　　　　(2分)
第2步:利用比例性质得结果
因为$\frac{AD}{AB}=\frac{CD}{BC}$，所以$\frac{AD}{CD}=\frac{AB}{BC}$，即$\frac{\sin C}{\sin\angle DAC}=\frac{\sin C}{\sin\angle BAC}$，所以$\sin\angle BAC = \sin\angle DAC$
由于$\angle BAC ＞ \angle DAC$，因此$\angle BAC + \angle DAC = \pi$　　　　(6分)
(2)第1步:根据余弦定理求得$\cos\angle BAC$
由$AB = 2$，$AC = 1$，$BC = \sqrt{7}$，得$\cos\angle BAC=\frac{AB^{2}+AC^{2}-BC^{2}}{2AB\cdot AC}=\frac{4 + 1 - 7}{2\times2\times1}=-\frac{1}{2}$　　　　　　　　　　　　　　　　　(8分)
第2步:利用三角形内角和定理求出$\angle DAB$
又$\angle BAC$为三角形的内角，则$\angle BAC=\frac{2\pi}{3}$，由
(1)知$\angle DAC=\frac{\pi}{3}$，故$\angle DAB=\frac{\pi}{3}$
第3步:利用三角形面积分割法建立方程求解即可
因为$S_{\triangle ABC}=S_{\triangle ABD}+S_{\triangle ADC}$(题眼)　　　　　　　　　(10分)
所以$\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC\cdot\sin\frac{2\pi}{3}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AD\cdot\sin\frac{\pi}{3}+\frac{1}{2}\cdot AD\cdot AC\cdot\sin\frac{\pi}{3}$
故$AD=\frac{2}{3}$　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分)

16.(15分)某人工智能研究实验室开发出一款全新聊天机器人模型,它能够通过学习和理解人类的语言来进行对话.聊天机器人模型的开发主要采用RLHF(人类反馈强化学习)技术,在测试它时，如果输入的问题没有语法错误，则它的回答被采纳的概率为90%，当出现语法错误时，它的回答被采纳的概率为50%.
　(1)在某次测试中输入了7个问题,聊天机器人模型的回答有5个被采纳,现从这7个问题中抽取4个,以ξ表示抽取的问题中回答被采纳的问题个数,求ξ的分布列和数学期望;
　(2)设输入的问题出现语法错误的概率为p,若聊天机器人模型的回答被采纳的概率为80%，求p的值.

答案： 超几何分布+全概率公式
解:
(1)第1步:写出随机变量ξ的所有可能取值
由题意知ξ的所有可能取值为2,3,4。
第2步:求出ξ的每个可能取值对应的概率
P(ξ = 2) = $\frac{C_{3}^{2}C_{2}^{0}}{C_{5}^{2}}$ = $\frac{3}{10}$，
P(ξ = 3) = $\frac{C_{3}^{1}C_{2}^{1}}{C_{5}^{2}}$ = $\frac{6}{10}$ = $\frac{3}{5}$，
P(ξ = 4) = $\frac{C_{3}^{0}C_{2}^{2}}{C_{5}^{2}}$ = $\frac{1}{10}$。(4分)
第3步:列出ξ的分布列
故ξ的分布列为
| ξ | 2 | 3 | 4 |
| --- | --- | --- | --- |
| P | $\frac{3}{10}$ | $\frac{3}{5}$ | $\frac{1}{10}$ |
(6分)
第4步:求出随机变量ξ的数学期望
所以ξ的数学期望E(ξ) = 2×$\frac{3}{10}$ + 3×$\frac{3}{5}$ + 4×$\frac{1}{10}$ = $\frac{11}{5}$。(8分)
(2)第1步:设出随机事件
记“输入的问题没有语法错误”为事件A，记“输入的问题有语法错误”为事件B，记“回答被采纳”为事件C。
第2步:根据全概率公式列方程，得出结果
由已知得，P(C) = 0.8，P(C|A) = 0.9，P(C|B) = 0.5，P(B) = p，P(A) = 1 - p。(11分)
因为P(C) = P(AC) + P(BC) = P(A)·P(C|A) + P(B)·P(C|B) = 0.9(1 - p) + 0.5p = 0.9 - 0.4p，
所以0.9 - 0.4p = 0.8，解得p = 0.25。(15分)