《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

17.(15分)猜灯谜,是我国的民俗文娱活动,是从古代就开始流传的元宵节特色活动.每逢农历正月十五,传统民间会把谜语写在纸条上并将其贴在彩灯上供人猜.在一次猜灯谜活动中,若甲、乙两名同学分别独立竞猜，甲同学猜对每个灯谜的概率为$\frac{2}{3}$,乙同学猜对每个灯谜的概率为$\frac{1}{2}$.假设甲、乙猜对每个灯谜都是等可能的,试求:
　　(1)甲、乙任选1个独立竞猜,求甲、乙恰有1人猜对的概率.
　　(2)活动规定:若某人任选2个进行有奖竞猜,都猜对则可以在A箱中参加抽取新春大礼包的活动,抽中的概率是$\frac{2}{3}$;没有都猜对则在B箱中参加抽取新春大礼包的活动,抽中的概率是$\frac{1}{4}$.求甲同学抽中新春大礼包的概率.
　　(3)甲、乙各任选2个独立竞猜,设甲、乙猜对灯谜的个数之和为X,求X的分布列与数学期望.

答案： 独立事件同时发生的概率+全概率公式+分布列、数学期望
解:
(1)设A =“甲猜对1个灯谜”，B =“乙猜对1个灯谜”，
则$P(A)=\frac{2}{3}$，$P(B)=\frac{1}{2}$。(1分)
“甲、乙恰有1人猜对”=$\overline{A}B\cup A\overline{B}$。(2分)
得$P(\overline{A}B\cup A\overline{B})$
$=P(\overline{A}B)+P(A\overline{B})$。(3分)
$=P(\overline{A})P(B)+P(A)P(\overline{B})$
$=\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}$
$=\frac{1}{2}$
所以甲、乙恰有1人猜对的概率为$\frac{1}{2}$。(4分)
(2)设C =“甲同学猜对2道题”，D =“甲同学抽中新春大礼包”，则$P(D)=P(C)P(D|C)+P(\overline{C})P(D|\overline{C})$（题眼）
$=(\frac{2}{3})^2\times\frac{2}{3}+[1 - (\frac{2}{3})^2]\times\frac{1}{4}$。(7分)
$=\frac{8}{27}+\frac{5}{36}$
$=\frac{47}{108}$
所以甲同学抽中新春大礼包的概率为$\frac{47}{108}$。(9分)
(3)由
(1)知$P(A)=\frac{2}{3}$，$P(B)=\frac{1}{2}$。
易知甲、乙猜对灯谜的个数之和X的所有可能取值为0，1，2，3，4。(10分)
则$P(X = 0)=(\frac{1}{3})^2\times(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{36}$，
$P(X = 1)=C_{2}^{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2})^2+C_{2}^{1}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times(\frac{1}{3})^2$
$=\frac{1}{9}+\frac{1}{18}=\frac{1}{6}$，
$P(X = 2)=(\frac{2}{3})^2\times(\frac{1}{2})^2+(\frac{1}{3})^2\times(\frac{1}{2})^2+C_{2}^{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times C_{2}^{1}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}=\frac{13}{36}$，
$P(X = 3)=C_{2}^{1}\times\frac{2}{3}\times\frac{1}{3}\times(\frac{1}{2})^2+C_{2}^{1}\times\frac{1}{2}\times\frac{1}{2}\times(\frac{2}{3})^2=\frac{1}{3}$，
$P(X = 4)=(\frac{2}{3})^2\times(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{9}$。(13分)
所以X的分布列为
|X|0|1|2|3|4|
|----|----|----|----|----|----|
|P|$\frac{1}{36}$|$\frac{1}{6}$|$\frac{13}{36}$|$\frac{1}{3}$|$\frac{1}{9}$|
(14分)
因此，X的数学期望$E(X)=0\times\frac{1}{36}+1\times\frac{1}{6}+2\times\frac{13}{36}+3\times\frac{1}{3}+4\times\frac{1}{9}=\frac{84}{36}=\frac{7}{3}$。(15分)

18.(17分)已知双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1(a＞0,b＞0)$，虚轴长为2，点A(−4，−1)在双曲线C上。
(1)求双曲线C的方程；
(2)过原点O的直线与双曲线C交于S，T两点，已知直线AS和直线AT的斜率存在，证明：直线AS和直线AT的斜率之积为定值；
(3)过点(0,1)的直线交双曲线C于P，Q两点，直线AP，AQ与x轴的交点分别为M，N，求证：MN的中点为定点。

答案： 18.双曲线的方程+直线与双曲线的位置关系+定值问题+定点问题
解:
(1)第1步:求出b的值
因为虚轴长2b = 2,所以b = 1.　　　　　　　　　　　　(1分)
第2步:求出a²的值
因为点A(−4,−1)在双曲线C上,所以$\frac{16}{a^{2}}$-$\frac{1}{b^{2}}$ = 1,
解得a² = 8.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(3分)
第3步:写出双曲线C的方程
故双曲线C的方程为$\frac{x^{2}}{8}$ - $y^{2}$ = 1.　　　　　　　　　　(4分)
(2)第1步:设点S的坐标，得点T的坐标
设S(x₀,y₀),则T(−x₀,−y₀).
第2步:写出$k_{AS}\cdot k_{AT}$的表达式
所以$k_{AS}\cdot k_{AT}$ = $\frac{y_{0}+1}{x_{0}+4}$ $\cdot$ $\frac{-y_{0}+1}{-x_{0}+4}$ = $\frac{1 - y_{0}^{2}}{16 - x_{0}^{2}}$　　　　　　　(6分)
第3步:证明$k_{AS}\cdot k_{AT}$是定值
因为点S(x₀,y₀)在双曲线C上，
所以$\frac{x_{0}^{2}}{8}$ - $y_{0}^{2}$ = 1,得1 - $y_{0}^{2}$ = $\frac{1}{8}$(8 - $x_{0}^{2}$),　　　　　　　　　　(7分)
于是$k_{AS}\cdot k_{AT}$ = $\frac{1 - y_{0}^{2}}{16 - x_{0}^{2}}$ = $\frac{\frac{1}{8}(8 - x_{0}^{2})}{16 - x_{0}^{2}}$ = $\frac{1}{8}$,
所以直线AS和直线AT的斜率之积为定值，定值是$\frac{1}{8}$.(9分)
(3)第1步:设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂)及直线PQ的方程,将直线PQ的方程与双曲线C的方程联立
设P(x₁,y₁),Q(x₂,y₂),直线PQ的方程为y = kx + 1.
由$\begin{cases}y = kx + 1 \\x^{2} - 8y^{2} = 8\end{cases}$,得(1 - 8k²)x² - 16kx - 16 = 0,　　　　(10分)
第2步:表示出x₁x₂,x₁ + x₂,y₁y₂,y₁ + y₂
则$\begin{cases}1 - 8k^{2} \neq 0 \\\Delta = (-16k)^{2} - 4(1 - 8k^{2})\times(-16) = 64 - 256k^{2} ＞ 0\end{cases}$,得k² ＜ $\frac{1}{4}$,且k² ≠ $\frac{1}{8}$.
由根与系数的关系得x₁ + x₂ = $\frac{16k}{1 - 8k^{2}}$,x₁x₂ = $\frac{-16}{1 - 8k^{2}}$,①
所以y₁ + y₂ = kx₁ + 1 + kx₂ + 1 = k(x₁ + x₂) + 2 = $\frac{2}{1 - 8k^{2}}$,②
y₁y₂ = (kx₁ + 1)(kx₂ + 1) = k²x₁x₂ + k(x₁ + x₂) + 1 = $\frac{-16k^{2}}{1 - 8k^{2}}$ + $\frac{16k^{2}}{1 - 8k^{2}}$ + 1 = 1.③
第3步:表示出点M,N的横坐标
直线AP的方程为(y₁ + 1)(x + 4) = (x₁ + 4)(y + 1),
令y = 0,得点M的横坐标为$x_{M}$ = $\frac{x_{1}y_{2}+4y_{2}-x_{2}y_{1}-4y_{1}}{y_{2}-y_{1}}$.
同理可得点N的横坐标为$x_{N}$ = $\frac{x_{2}y_{1}+4y_{1}-x_{1}y_{2}-4y_{2}}{y_{1}-y_{2}}$.
第4步:求M,N两点的横坐标之和
$x_{M}+x_{N}$ = $\frac{x_{1}+4}{y_{1}+1}$ + $\frac{x_{2}+4}{y_{2}+1}$ - 8
= $\frac{(x_{1}+4)(y_{2}+1)+(x_{2}+4)(y_{1}+1)}{(y_{1}+1)(y_{2}+1)}$ - 8
= $\frac{x_{1}y_{2}+x_{1}+4y_{2}+4+x_{2}y_{1}+x_{2}+4y_{1}+4}{y_{1}y_{2}+y_{1}+y_{2}+1}$ - 8
= $\frac{2kx_{1}x_{2}+2(x_{1}+x_{2})+4(y_{1}+y_{2})+8}{y_{1}y_{2}+y_{1}+y_{2}+1}$ - 8,
将①②③式代入上式,并化简得到$x_{M}+x_{N}$ = $\frac{2k\times\frac{-16}{1 - 8k^{2}}+2\times\frac{16k}{1 - 8k^{2}}+4\times\frac{2}{1 - 8k^{2}}+8}{1+\frac{2}{1 - 8k^{2}}+1}$ - 8 = $\frac{-32k + 32k + 8 + 8 - 64k^{2}}{2 - 16k^{2}+2}$ - 8 = $\frac{16 - 64k^{2}}{4 - 16k^{2}}$ - 8 = 4 - 8 = -4.　　　　　　　　　　　　　　　　　　(16分)
第5步:证明MN的中点为定点
所以MN的中点的横坐标等于$\frac{x_{M}+x_{N}}{2}$ = -2,
故MN的中点是定点(-2,0).　　　　　　　　　　　(17分)