《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

18.(17分)已知函数f(x)=$\frac{1}{2}$(lnx)² - a$\sqrt{x}$
　(1)若f(x)在(0，+∞)上单调递减，求实数a的取值范围；
　(2)若f(x)的最小值为6，求实数a的值。

答案： 利用导数研究函数的单调性+零点存在定理
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(1)题意→f'(x)≤0→a≥$\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}$→构造函数g(x)=$\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}$求导、研究g(x)的单调性g(x)max=g(e²)=$\frac{4}{e}$
实数a的取值范围
(2)题意→f
(1)=−a≥6→a≤−6构造函数h(x)=2\ln x−a$\sqrt{x}$
h(x)的单调性,h(e²)=2a−ae²=a(2−e²)＜0,h
(1)=−a＞0零点存在定理存在x₀∈(e²,1),使得h(x₀)=0隐零点;f(x)min=f(x₀)=6h(x₀)=0 =−4e
解:
(1)第1步:求函数f(x)的定义域及导函数
由题意知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=$\frac{\ln x}{x}$−$\frac{a\sqrt{x}}{2x}$=$\frac{2\ln x−a\sqrt{x}}{2x}$ (2分)
第2步:利用函数f(x)的单调性，得到a≥$\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}$(x＞0)
因为f(x)在(0,+∞)上单调递减,所以当x∈(0,+∞)时f′(x)≤0,所以2\ln x−a$\sqrt{x}$≤0(x＞0),即a≥$\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}$(x＞0). (3分)
第3步:构造函数g(x)=$\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}$,利用导数求出g(x)的最大值
设g(x)=$\frac{2\ln x}{\sqrt{x}}$(x＞0),则g'(x)=$\frac{2 - \ln x}{x\sqrt{x}}$,g'(x)=0时,x=e²,
当x∈(0,e²)时,g'(x)＞0,故g(x)在(0,e²)上单调递增;当x∈(e²,+∞)时,g'(x)＜0,故g(x)在(e²,+∞)上单调递减. (5分)
所以g(x)max=g(e²)=$\frac{4}{e}$. (6分)
第4步:求出实数a的取值范围
则a≥g(x)max=$\frac{4}{e}$,
所以实数a的取值范围是[$\frac{4}{e}$,+∞). (7分)
(2)解法一
第1步:结合函数f(x)的最小值，求出a的大致范围
由
(1)知,函数f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=$\frac{2\ln x−a\sqrt{x}}{2x}$,
因为f(x)的最小值为6,由f
(1)=−a≥6,得a≤−6. (9分)
第2步:构造函数h(x)=2\ln x−a$\sqrt{x}$,求出函数h(x)的零点x₀
设h(x)=2\ln x−a$\sqrt{x}$,x＞0,易知h(x)在(0,+∞)上单调递增，
因为h(e²)=2a−ae²=a(2−e²)＜0,h
(1)=−a＞0,
所以存在x₀∈(e²,1),使得h(x₀)=0,(使用零点存在定理需满足两个条件:①函数f(x)的图象在区间[a,b]上连续,②f(a)·f(b)＜0) (12分)
第3步:结合h(x)的正负，得f(x)的单调性及关于x₀的方程
当x∈(0,x₀)时,h(x)＜0,即f'(x)＜0,故f(x)在(0,x₀)上单调递减;当x∈(x₀,+∞)时,h(x)＞0,即f'(x)＞0,故f(x)在(x₀,+∞)上单调递增
所以f(x)min=f(x₀)=$\frac{1}{2}$(lnx₀)²−a$\sqrt{x₀}$=6. (14分)
第4步:求出x₀的值
因为h(x₀)=2\ln x₀−a$\sqrt{x₀}$=0,即a$\sqrt{x₀}$=2\ln x₀,
所以$\frac{1}{2}$(lnx₀)²−2\ln x₀=6,
解得x₀=e⁶(舍去)或x₀=$\frac{1}{e²}$. (16分)
第5步:求出a的值
所以a=$\frac{2\ln x₀}{\sqrt{x₀}}$=−4e,即a的值为−4e. (17分)
解法二
由题意知f(x)≥6在(0,+∞)上恒成立,则a≤$\frac{(\ln x)^2 - 12}{\sqrt{x}}$在(0,+∞)上恒成立.(分离参数，将原不等式进行转化) (9分)
令G(x)=$\frac{(\ln x)^2 - 12}{\sqrt{x}}$,x＞0,则a≤G(x)min,
G'(x)=$\frac{2\ln x - \frac{(\ln x)^2 - 12}{2\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}$=$\frac{4\ln x - (\ln x)^2 + 12}{2x\sqrt{x}}$=$\frac{-(\ln x + 2)(\ln x - 6)}{2x\sqrt{x}}$. (12分)
由G'(x)＞0得$\frac{1}{e²}$＜x＜e⁶,由G'(x)＜0得0＜x＜$\frac{1}{e²}$或x＞e⁶,
所以G(x)在(0,$\frac{1}{e²}$),(e⁶,+∞)上单调递减,在($\frac{1}{e²}$,e⁶)上单调递增. (15分)
又G($\frac{1}{e²}$)=−4e＜0,当x＞e²时,G(x)＞0,所以G(x)min=G($\frac{1}{e²}$)=−4e,所以a≤−4e. (16分)
又f(x)的最小值为6,所以a=−4e.(注意:当a＜−4e时f(x)≥6在(0,+∞)上恒成立,但f(x)的最小值不是6,当且仅当a=−4e时f(x)的最小值为6) (17分)
延伸拓展 隐零点范围的求解难度较大，范围过大或过小
都可能会导致题目无法求解，但不可否认的是，利用零点存在
定理研究超越函数零点的方法，有着不可撼动的地位

19.(17分)对于给定的正整数k，若对任意的正整数n(n＞k)，数列{aₙ}均满足aₙ₋ₖ·aₙ₋ₖ₊₁·……·aₙ₋₁·aₙ₊₁·……·aₙ₊ₖ₋₁·aₙ₊ₖ = aₙ²ᵏ，且aₙ＞0，则称数列{aₙ}是“Π(k)数列”。
　(1)证明：各项均为正数的等比数列{aₙ}是“Π(k)数列”。
　(2)已知数列{aₙ}既是“Π(2)数列”，又是“Π(3)数列”。
　　　①证明：数列{aₙ}是等比数列。
　　　②设数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₁ + a₂ = 3，a₃ - a₂ = 2，问：是否存在正整数n，p，m，使得Sₙ + 2 = pᵐ？若存在，求出所有的n，p，m；若不存在，请说明理由。

答案： 等比数列的通项与前n项和
解:
(1)因为{aₙ}是等比数列,
所以aₙ₋ₖ·aₙ₊ₖ=aₙ². (1分)
所以aₙ₋ₖ·aₙ₋ₖ₊₁·.....·aₙ₋₁·aₙ₊₁·.....·aₙ₊ₖ₋₁·aₙ₊ₖ=aₙ²ᵏ.
因此各项均为正数的等比数列{aₙ}是“III(k)数列”. (3分)
(2)①数列{aₙ}既是“II
(2)数列”,又是“II
(3)数列”,因此当n＞2时,aₙ₋₂aₙ₋₁aₙ₊₁aₙ₊₂=aₙ⁴ (i), (4分)
当n＞3时,aₙ₋₃aₙ₋₂aₙ₋₁aₙ₊₁aₙ₊₂aₙ₊₃=aₙ⁶ (ii), (5分)
由(i)知,当n＞3时,aₙ₋₃aₙ₋₂=$\frac{aₙ₋₁aₙ₊₁}{aₙ²}$ (iii),
aₙ₊₂aₙ₊₃=$\frac{aₙ₊₁aₙ₋₁}{aₙ²}$ (iv),
将(iii)(iv)代入(ii),得aₙ₋₁aₙ₊₁=aₙ²,其中n＞3,
所以a₃,a₄,a₅,...是等比数列，设其公比为q', (8分)
在(i)中,取n=4,则a₂a₃a₅a₆=a₄⁴,所以a₂=$\frac{a₃}{q'}$, (9分)
在(i)中,取n=3,则a₁a₂a₄a₅=a₃⁴,所以a₁=$\frac{a₃}{q'²}$,
所以数列{aₙ}是等比数列. (10分)
②由①及a₁ + a₃ = 3,a₃ - a₁ = 2知$\begin{cases}a₁ + a₁q'² = 3\\a₁q'² - a₁ = 2\end{cases}$,
所以3q'² - 5q' - 2 = 0.易知q'＞0,所以q' = 2,a₁ = 1.
所以aₙ = 2ⁿ⁻¹,Sₙ = 2ⁿ - 1. (11分)
假设存在正整数n,p,m,使得Sₙ + 2 = pᵐ⁺¹,即2ⁿ + 1 = pᵐ⁺¹,即pᵐ⁺¹ - 1 = 2ⁿ.
当m为奇数时,pᵐ⁺¹ - 1=(p - 1)(pᵐ + pᵐ⁻¹ +... + p + 1),
设pᵐ + 1 = 2ˢ,p - 1 = 2ᵗ,则s＞t,
所以2ˢ - 2ᵗ = 2ᵗ(2ˢ⁻ᵗ - 1)=2ⁿ,
可得2ᵗ = 2,2ˢ⁻ᵗ - 1 = 1,所以t = 1,s = 2,
所以n = 3,S₃ + 2 = 9 = 3²,
所以存在n = 3,p = 3,m = 1,使得Sₙ + 2 = pᵐ⁺¹. (13分)
当m为偶数时,pᵐ⁺¹ - 1=(p - 1)(pᵐ + pᵐ⁻¹ +... + p + 1),若p为偶数,则pᵐ⁺¹ - 1为奇数,所以pᵐ⁺¹ - 1≠2ⁿ. (14分)
若p为奇数,则p＞1,(提示:p = 1时,pᵐ⁺¹ - 1 = 2ⁿ不成立)
p - 1为偶数,pᵐ + pᵐ⁻¹ +... + p + 1为m + 1个奇数之和,也为奇数,所以pᵐ⁺¹ - 1≠2ⁿ.(提示:一个偶数与一个大于1的奇数的乘积一定不等于2ⁿ(n∈N*))
所以当m为偶数时,不存在正整数n,p,m,使得Sₙ + 2 = pᵐ⁺¹. (16分)
综上所述,存在n = 3,p = 3,m = 1,使得Sₙ + 2 = pᵐ⁺¹. (17分)