《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

13. 记数列$\{a_n\}$的前n项和为$S_n$，若$a_1$ = 2，$2a_{n + 1} - 3a_n = 2^n$，则$\frac{a_5}{2^5 + S_5}$ = ________。

答案： 13.$\frac{1}{2}$　构造法求数列的通项公式+等比数列的定义、前n项和公式　2am+1−3an=2”,两边同时除以2+²,得$\frac{an+1}{2+1}$=$\frac{3}{4}$x$\frac{an}{2”}$+$\frac{1}{4}$①,(题眼)令b=$\frac{a,}{2"}$,则①式转化为b,=$\frac{3}{4}$b+$\frac{1}{4}$,所以M
bn+1−1=$\frac{3}{4}$(bn−1).因为a=2,所以b−1=$\frac{a}{2}$−1=0,所以数列|bn−1|是常数列,即b−1=0,所以bn=$\frac{a,}{2"}$=1,即αn=2”,所以数列|an|是以2为首项,2为公比的等比数列,所以S=
2(11−−22²).=2+¹−2,所以$\frac{as}{2+S}$=$\frac{28}{2+2°−2}$=$\frac{1}{2}$

14. 已知O为坐标原点，F是抛物线C:$y^2 = x$的焦点，A，B两点分别位于x轴的两侧，且都在抛物线C上。记△ABO的面积为$S_1$，△AFO的面积为$S_2$。若$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = 2$，则$S_1 + S_2$的最小值为________。

答案：
14.3　直线与抛物线的位置关系+直线过定点+基本不等式+向量的数量积　第1步:确定直线AB过定点
设直线AB的方程为x=my+b,代人抛物线方程y=x,得y²−my−b=0,A=m²+4b＞0.设A(y²,y),B(y²,y),则y1y2=
−b,y1+y2=m.OA,OB=(²,y).(y²,y2)=y²y²+yy=2,即y²y+yy2−2=0,解得y!y=−2或y1y2=1.因为点A,B分别位于x轴两侧,所以yy2＜0,即yy2=−2,所以−b=−2,即b=2,所以直线AB的方程为x=my+2,所以真线AB过定点(2.0).(题眼)
第2步:求S1+S的表达式
不妨设y＞0,y2＜0,如图,因为直线
AB过定点(2,0),所以S=$\frac{1}{2}$x2×
　　　　　　　　　　　　　　 (y1−y)=y−y.因为焦点F($\frac{1}{4}$,
0),所以S=$\frac{1}{2}$xy1=$\frac{1}{8}$y,所以S+S=y−y.
第3步:利用基本不等式求S1+S的最小值
因为yy=−2,所以S+S2=$\frac{9}{8}$y1−y2=$\frac{9}{8}$y1+$\frac{2}{y}$≥
2$\sqrt{\frac{y}{8}x\frac{2}{y}}$=3,当且仅当y1=$\frac{4}{3}$时,取“=”,即S+S的最小值为3.

15.(13分)某公司为提升A款产品的核心竞争力,准备加大A款产品的研发投资,为确定投入A款产品的年研发费用,需了解年研发费用x(单位:万元)对年利润y(单位:万元)的影响.该公司统计了最近8年每年投入A款产品的年研发费用与年利润的数据，得到如图所示的散点图:
　　
　经数据分析知,y与x正相关,且相关程度较高.
　经计算得,∑8x=80,忘=y=200,8(x−x)²=
　250,i≥=1(xi−x)(yi−y)=500.
　(1)建立y关于x的经验回归方程=bx+α;
　(2)若该公司对A款产品欲投入的年研发费用为30万元,根据(1)得到的经验回归方程,预测年利润为多少万元.
　

答案： 解:
(1)第1步:求$\overline{x}$,$\overline{y}$
∵$\sum_{i = 1}^{8}x_{i}=80$,$\sum_{i = 1}^{8}y_{i}=200$,
∴$\overline{x}=\frac{\sum_{i = 1}^{8}x_{i}}{8}=\frac{80}{8}=10$,$\overline{y}=\frac{\sum_{i = 1}^{8}y_{i}}{8}=\frac{200}{8}=25$.　　　　　　　　　　　　(2分)
第2步:求$\hat{b}$
∵$\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\overline{x})^{2}=250$,$\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})=500$,
∴$\hat{b}=\frac{\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\overline{x})(y_{i}-\overline{y})}{\sum_{i = 1}^{8}(x_{i}-\overline{x})^{2}}=\frac{500}{250}=2$,(题眼)　　　　　　(4分)
第3步:求$\hat{a}$,从而得$y$关于$x$的经验回归方程
∴$\hat{a}=\overline{y}-\hat{b}\overline{x}=25 - 2\times10=5$.
∴$y$关于$x$的经验回归方程为$\hat{y}=2x + 5$.　　　　　　　(8分)
(2)由
(1)可得,$\hat{y}=2x + 5$,
∴当$x = 30$时,$\hat{y}=2\times30 + 5=65$,
∴当该公司对A款产品投入30万元年研发费用时，年利润约为65万元　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(13分)

16.(15分)△ABC中,内角A,B,C的对边分别为α,b,c,B是A与C的等差中项.
　(1)若$\frac{a}{b−a}$=$\frac{a+b}{C}$,判断△ABC的形状;
　(2)若△ABC是锐角三角形,求$\frac{tanB}{tanA+tanC}$的取值范围.

答案： 解:
(1)第1步:求出$B$的值
∵$B$是$A$与$C$的等差中项，
∴$2B = A + C$.
∵$A + B + C=\pi$,
∴$B=\frac{\pi}{3}$　　　　　　　　　　　　　　(2分)
第2步:将$b$,$c$都用$a$表示
∵$\frac{a}{b - a}=\frac{a + b}{c}$,
∴$b^{2}=a^{2}+ac$.
由余弦定理得$b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\times\frac{1}{2}=a^{2}+c^{2}-ac$,即$a^{2}+ac=a^{2}+c^{2}-ac$,化简得$c = 2a$.
∴$b^{2}=a^{2}+ac=a^{2}+2a^{2}=3a^{2}$,即$b=\sqrt{3}a$.　　　　　　　(4分)
第3步:判断$\triangle ABC$的形状
∵$a^{2}+b^{2}=a^{2}+3a^{2}=4a^{2}=c^{2}$,
∴$C=\frac{\pi}{2}$
∵$b=\sqrt{3}a\neq a$,
∴$\triangle ABC$是以$AB$为斜边的直角三角形.　　　　　　　(6分)
(2)第1步:根据$\triangle ABC$为锐角三角形及$B=\frac{\pi}{3}$求$A$的取值范围
∵$B=\frac{\pi}{3}$,$\triangle ABC$是锐角三角形，
$\begin{cases}0\lt C=\frac{2\pi}{3}-A\lt\frac{\pi}{2}\\0\lt A\lt\frac{\pi}{2}\end{cases}$,解得$\frac{\pi}{6}\lt A\lt\frac{\pi}{2}$　　　　　　　(8分)
第2步:把$\frac{\tan B}{\tan A+\tan C}$整理成关于$A$的三角函数形式
∴$\frac{\tan B}{\tan A+\tan C}=\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sin A}{\cos A}+\frac{\sin C}{\cos C}}$
$=\frac{\sqrt{3}\cos A\cos C}{\sin A\cos C+\cos A\sin C}$
$=\frac{\sqrt{3}\cos A\cos C}{\sin(A + C)}$
$=\frac{\sqrt{3}\cos A\cos C}{\sin B}$
$=2\cos A\cos C$
$=2\cos A\cos(\frac{2\pi}{3}-A)$
$=2\cos A(-\frac{1}{2}\cos A+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin A)$
$=-\cos^{2}A+\sqrt{3}\sin A\cos A$
$=-\frac{\cos2A + 1}{2}+\frac{\sqrt{3}\sin2A}{2}$
$=\frac{\sqrt{3}\sin2A-\cos2A}{2}-\frac{1}{2}$
$=\sin(2A-\frac{\pi}{6})-\frac{1}{2}$(题眼)　　　　　(12分)
第3步:求出$\frac{\tan B}{\tan A+\tan C}$的取值范围
由$\frac{\pi}{6}\lt A\lt\frac{\pi}{2}$,得$\frac{\pi}{6}\lt2A-\frac{\pi}{6}\lt\frac{5\pi}{6}$,
∴$\frac{1}{2}\lt\sin(2A-\frac{\pi}{6})\leq1$,
∴$0\lt\sin(2A-\frac{\pi}{6})-\frac{1}{2}\leq\frac{1}{2}$,即$0\lt\frac{\tan B}{\tan A+\tan C}\leq\frac{1}{2}$
∴$\frac{\tan B}{\tan A+\tan C}$的取值范围为$(0,\frac{1}{2}]$.　　　　　　　　(15分)