《2025年高考冲刺优秀模拟试卷汇编45套数学》

19.(17分)在概率统计中,常常用频率估计概率.已知袋中有若干个红球和白球,有放回地随机摸球n次,红球出现m次.假设每次摸出红球的概率为p,根据频率估计概率的思想,则每次摸出红球的概率p的估计值为p = $\frac{m}{n}$
(1)若袋中这两种颜色球的个数之比为1:3,不知道哪种颜色的球多.有放回地随机摸取3个球,设摸出的球为红球的次数为Y,则Y~B(3,p).
注:P(Y = k)表示当每次摸出红球的概率为p时,摸出红球次数为k的概率.
(i)完成下表;

(ii)在统计理论中,把使得P(Y = k)的取值达到最大时的p作为p的估计值,记为$\hat{p}$,请写出$\hat{p}$的值.
(2)把(1)中“使得P(Y = k)的取值达到最大时的p作为p的估计值$\hat{p}$”的思想称为最大似然原理.基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计.
具体步骤:先对参数θ构建对数似然函数l(θ),再对其关于参数θ求导,得到似然方程l'(θ) = 0,最后求解参数θ的估计值.已知Y~B(n,p)的参数p的对数似然函数为$l(p)=\sum_{i = 1}^{n}x_{i}\ln p+\sum_{i = 1}^{n}(1 - x_{i})\ln(1 - p)$,其中$x_{i}=\begin{cases}1, & 第i次摸出红球\\0, & 第i次摸出白球\end{cases}$求参数p的估计值,并且说明频率估计概率的合理性.

答案： 19.二项分布+伯努利试验+导数的应用
解:
(1)因为Y~B(3,p),所以p的值为$\frac{1}{4}$或$\frac{3}{4}$.(二项分布)
(i)表格如下:
| k | 0 | 1 | 2 | 3 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| P(Y = k)（p = $\frac{1}{4}$） | $\frac{27}{64}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{9}{64}$ | $\frac{1}{64}$ |
| P(Y = k)（p = $\frac{3}{4}$） | $\frac{1}{64}$ | $\frac{9}{64}$ | $\frac{27}{64}$ | $\frac{27}{64}$ |
(5分)
(ii)由题知$P(Y = k) = C_{3}^{k}p^{k}(1 - p)^{3 - k}$。
当Y = 0或1时,参数p = $\frac{1}{4}$对应的概率最大;
当Y = 2或3时,参数p = $\frac{3}{4}$对应的概率最大。
所以$p = \begin{cases}\frac{1}{4}, & Y = 0,1 \\\frac{3}{4}, & Y = 2,3\end{cases}$
(11分)
(2)对对数似然函数进行求导,$l'(p)=\frac{1}{p}\overline{x}-\frac{1}{1 - p}(1 - \overline{x})$
因此似然方程为$\frac{1}{p}\overline{x}-\frac{1}{1 - p}(1 - \overline{x}) = 0$
解方程,得$p = \overline{x}$
因此,用最大似然估计的参数与频率估计概率的结果是一致的，故用频率估计概率是合理的。
(17分)
考情速递　新定义问题是高考改革的重要体现，是高考考查考生学科素养的重要载体，同时也是综合性非常高的一种题型，要求考生能够结合题中所给的定义、结论，根据自己所学进行合理推理，获取相应的结论，此类问题要求考生能够活用知识，难度相对较高。