《2025年一遍过八年级数学下册冀教版》

7 [2024吴忠期末]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，且OA = OB，∠OAD = 55°，则∠ODC的度数为 （ ）

A. 35°
B. 40°
C. 45°
D. 50°

答案： A
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $OA = OC$，$OB = OD$.
∵ $OA = OB$，
∴ $OA = OB = OC = OD$，
∴ $AC = BD$，
∴ 四边形 $ABCD$ 是矩形，
∴ $\angle ADC = 90^{\circ}$.
∵ $\angle ODA=\angle OAD = 55^{\circ}$，
∴ $\angle ODC=\angle ADC-\angle ODA = 35^{\circ}$.

8 如图，在四边形ABCD中，∠A = 60°，∠ABC = ∠ADC = 90°，BC = 2，CD = 11，过点D作DH⊥AB于点H，则DH的长是 （ ）

A. 7.5
B. 7
C. 6.5
D. 5.5

答案：
A 如图
，过点 $C$ 作 $CE\perp DH$ 于点 $E$.
∵ $DH\perp AB$，$\angle ABC = 90^{\circ}$，$CE\perp DH$，
∴ 四边形 $BCEH$ 是矩形，
∴ $HE = BC = 2$. 在 $Rt\triangle AHD$ 中，$\angle A = 60^{\circ}$，
∴ $\angle ADH = 30^{\circ}$. 又
∵ $\angle ADC = 90^{\circ}$，
∴ $\angle CDE = 60^{\circ}$，
∴ $\angle DCE = 30^{\circ}$. 在 $Rt\triangle CED$ 中，$DE=\frac{1}{2}CD = 5.5$，
∴ $DH = HE + DE = 2 + 5.5 = 7.5$.

9 [2024石家庄藁城区期末]如图，在△ABC中，∠C = 90°，AC = BC = 6，P为边AB上一动点，作PD⊥BC于点D，PE⊥AC于点E，则DE的最小值为________.

答案：
$3\sqrt{2}$ 如图，连接 $CP$，
∵ $\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC = 6$，
∴ $AB=\sqrt{6^{2}+6^{2}} = 6\sqrt{2}$.
∵ $\angle PDC=\angle PEC=\angle ACB = 90^{\circ}$，
∴ 四边形 $CDPE$ 是矩形，
∴ $DE = CP$. 当 $CP\perp AB$ 时，$CP$ 最短，即 $DE$ 最短(垂线段最短)，此时 $AP = BP$，
∴ $CP=\frac{1}{2}AB = 3\sqrt{2}$，
∴ $DE$ 的最小值为 $3\sqrt{2}$.

10 [2023西安交大附中期末]如图，在△ABC中，直线MN以每秒1个单位长度的速度从△ABC的边BC位置出发，沿CA方向平移，交∠ACB的平分线于点E，交△ABC的外角∠ACD的平分线于点F. 若AC = 6，则当运动了________秒时，四边形AECF是矩形.

答案： 3 解题思路：根据角平分线的定义，得 $\angle ACE=\angle BCE$，$\angle ACF=\angle DCF$，可得 $\angle ECF = 90^{\circ}$. 由 $MN// BC$，得 $\angle OEC=\angle BCE$，$\angle CFO=\angle DCF$，则 $\angle OEC=\angle ECO$，$\angle CFO=\angle OCF$，求得 $EO = CO$，$FO = CO$，进而得到 $OE = OF$，当点 $O$ 是 $AC$ 的中点时，四边形 $AECF$ 是平行四边形，结合 $\angle ECF = 90^{\circ}$，推出平行四边形 $AECF$ 是矩形.
∵ $CE$ 平分 $\angle ACB$，$CF$ 平分 $\angle ACD$，
∴ $\angle ACE=\angle BCE$，$\angle ACF=\angle DCF$，
∴ $\angle ACE+\angle ACF=\frac{1}{2}\times180^{\circ}=90^{\circ}$，
∴ $\angle ECF = 90^{\circ}$.
∵ $MN// BC$，
∴ $\angle OEC=\angle BCE$，$\angle CFO=\angle DCF$，
∴ $\angle OEC=\angle ECO$，$\angle CFO=\angle OCF$，
∴ $EO = CO$，$FO = CO$，
∴ $OE = OF$. 由 $AC = 6$，知当 $OC = 3$ 时，四边形 $AECF$ 是平行四边形
∵ $\angle ECF = 90^{\circ}$，
∴ 平行四边形 $AECF$ 是矩形，
∴ 当运动了 3 秒时，四边形 $AECF$ 是矩形.

11 [2023新疆生产建设兵团中考]如图，AD和BC相交于点O，∠ABO = ∠DCO = 90°，OB = OC，点E，F分别是AO，DO的中点.
（1）求证：OE = OF.
（2）当∠A = 30°时，求证：四边形BECF是矩形.

答案： 证明：
(1) 在 $\triangle AOB$ 与 $\triangle DOC$ 中，$\begin{cases}\angle ABO=\angle DCO,\\OB = OC,\\\angle AOB=\angle DOC,\end{cases}$
∴ $\triangle AOB\cong\triangle DOC(ASA)$，
∴ $OA = OD$，
又
∵ $E$，$F$ 分别是 $AO$，$DO$ 的中点，
∴ $OE = OF$.
(2)
∵ $OB = OC$，$OF = OE$，
∴ 四边形 $BECF$ 是平行四边形，$BC = 2OB$，$EF = 2OE$.
∵ $E$ 为 $AO$ 的中点，$\angle ABO = 90^{\circ}$，
∴ $EB = EO = EA$，
∵ $\angle A = 30^{\circ}$，
∴ $\angle BOE = 60^{\circ}$，
∴ $\triangle BOE$ 是等边三角形，
∴ $OB = OE$，
∴ $BC = EF$，
∴ 四边形 $BECF$ 是矩形.

12 抽象能力 已知□ABCD和□GBEF是全等图形，∠ABC = 60°.
（1）如图1，当点F与点D重合时，BG交AD于点M，EF交BC于点N. 求证：BM = DM.
（2）将□GBEF绕点B旋转，当GF和DC互相垂直时，如图2，求∠GBC的度数.
（3）将图2中的□GBEF绕点B逆时针旋转90°，则以点C，G，D，F为顶点的四边形是哪种特殊四边形？请给予证明.

答案：

(1) 证明：由题意得 $\angle A=\angle G$，$AB = GD$.
在 $\triangle ABM$ 和 $\triangle GDM$ 中，$\begin{cases}\angle A=\angle G,\\\angle AMB=\angle GMD,\\AB = GD,\end{cases}$
∴ $\triangle ABM\cong\triangle GDM$，
∴ $BM = DM$.
(2) 解：设 $GF$ 与 $CD$ 相交于点 $O$，则 $\angle GOC = 90^{\circ}$.
∵ $\angle ABC = 60^{\circ}$，
∴ $\angle BGF=\angle BCD = 180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$，
∴ $\angle GBC = 360^{\circ}-120^{\circ}-120^{\circ}-90^{\circ}=30^{\circ}$.
(3) 解：以点 $C$，$G$，$D$，$F$ 为顶点的四边形是矩形. 证明如下：
如图，旋转后点 $E$ 与点 $A$ 重合，
$\angle GBC = 60^{\circ}+60^{\circ}=120^{\circ}$.
∵ $BG = BC$，
∴ $\angle BGC=\angle BCG = 30^{\circ}$，
∴ $\angle GCD = 120^{\circ}-30^{\circ}=90^{\circ}$.
∵ 四边形 $ABCD$ 和四边形 $GBEF$ 是平行四边形，
∴ $AB// CD$，$AB// FG$，$AB = CD$，$AB = FG$，
∴ $FG// CD$，$FG = CD$，
∴ 四边形 $CDFG$ 是平行四边形，
又
∵ $\angle GCD = 90^{\circ}$，
∴ 四边形 $CDFG$ 是矩形.