《2025年一遍过八年级数学下册冀教版》

14 推理能力 如图，四边形ABCD为平行四边形，点M从点D运动到点A与点N从点B运动到点C的速度相同，点E从点A运动到点B与点F从点C运动到点D的速度相同，连接EF，MN.
（1）在点M，N，E，F开始运动前，EF，MN之间有何关系？
（2）若这四个点同时出发，且均未到达终点，（1）中的结论还成立吗？为什么？

答案：
解：（1）EF与MN互相平分. 理由如下：
如图1，
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD，即EF与MN互相平分.

（2）若这四个点同时出发，且均未到达终点，（1）中的结论仍成立. 理由如下：
如图2，连接EM，EN，FN，FM.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠A = ∠C，AD = BC.
根据题意，得AE = CF，DM = BN，
∴ AM = CN.
在△AEM与△CFN中，$\begin{cases} AE = CF, \\ \angle A=\angle C, \\ AM = CN, \end{cases}$
∴ △AEM≌△CFN（SAS），
∴ EM = FN.
同理可证EN = MF，
∴ 四边形ENFM是平行四边形，
∴ EF与MN互相平分.

如图1，□ABCD中，对角线AC，BD交于点O.

(1)若$BD = 2\sqrt{13},AC = 4,AC\perp CD$，则□ABCD的面积是______.
(2)如图2，AT平分∠BAD，分别交BC，BD于点T，P，连接OT，若∠ADC = 60°，$AB=\frac{1}{2}BC = 2$，则∠CAD = ______°.
(3)若以□ABCD的边BC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，点D在y轴正半轴上，点Q为坐标原点，点A在第二象限，且C( - 3，0)，BC = 5，∠ADC = 45°，则点A的坐标为__________.
(4)如图3，过O点作直线EF，交BA的延长线于点E，交DC的延长线于点F，分别交AD，BC于点G，H.
①求证：四边形AECF是平行四边形.
②连接BG，DH，求证：四边形BGDH是平行四边形.
③如果四边形ABCD与四边形AECF的周长分别是16与10，求△BEC的周长.

答案： ### 一题练透
(1)解：12
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA = OC，OB = OD，
∵ BD = 2$\sqrt{13}$，AC = 4，
∴ OD = $\sqrt{13}$，OC = 2，
∴ CD = $\sqrt{OD^{2}-OC^{2}}$ = $\sqrt{13 - 4}$ = 3，
∴ □ABCD的面积为AC·CD = 4×3 = 12.
(2)解：30
∵ AT平分∠BAD，
∴ ∠BAT = ∠DAT.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AD//BC，∠ABC = ∠ADC = 60°，
∴ ∠DAT = ∠BTA，
∴ ∠BAT = ∠BTA，
∴ AB = BT = 2，
∴ △ABT是等边三角形，
∴ AT = BT = 2.
∵ BC = 4，
∴ TC = 2，
∴ AT = TC，
∴ ∠TAC = ∠ACT.
∵ ∠ATB = ∠TAC + ∠ACT = 60°，
∴ ∠ACT = 30°.
∵ AD//BC，
∴ ∠CAD = ∠ACT = 30°.
(3)解：(-5,3)
∵ ∠ADC = 45°，AD//x轴，
∴ ∠DCQ = 45°，
∴ ∠CDQ = 45°.
∵ C(-3,0)，
∴ CQ = DQ = 3.
∵ BC = 5，
∴ AD = 5，
∴ 点A的坐标为(-5,3).
(4)①证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ AB//CD，AO = CO，
∴ ∠AEO = ∠CFO，∠EAO = ∠FCO.
在△AEO和△CFO中，$\begin{cases}∠AEO = ∠CFO \\∠EAO = ∠FCO \\AO = CO\end{cases}$
∴ △AEO≌△CFO(AAS)，
∴ EO = FO，
∴ 四边形AECF是平行四边形.
②证明：
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ ∠EBH = ∠FDG，∠BEH = ∠DFG，AB = CD.
∵ 四边形AECF是平行四边形，
∴ AE = CF，
∴ AB + AE = CD + CF，即BE = DF.
在△BEH和△DFG中，$\begin{cases}∠EBH = ∠FDG \\BE = DF \\∠BEH = ∠DFG\end{cases}$
∴ △BEH≌△DFG(ASA)，
∴ BH = DG，
又
∵ BH//DG，
∴ 四边形BGDH是平行四边形.
③解：
∵ 四边形ABCD和四边形AECF都是平行四边形，AB + BC = 8，AE + EC = 5，
∴ △BEC的周长为13.