《2025年一遍过八年级数学下册冀教版》

1 [2024邯郸邯山区期末]如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O，过A,C两点作AG⊥BD,CH⊥BD，垂足分别为M,N，且分别交CD,AB于点G,H.
(1)求证：四边形AHCG是平行四边形.
(2)若DG = 3,AH = 2,AC = 5,BD = 8，求AB的长及△AOB的周长.

答案：
(1)证明：
∵ $AG\perp BD$，$CH\perp BD$，
∴ $\angle AMB = 90^{\circ}$，$\angle HNB = 90^{\circ}$，
∴ $\angle AMB=\angle HNB$，
∴ $AG// CH$.
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，
∴ $AB// CD$，
∴ 四边形 $AHCG$ 是平行四边形.
(2)解：
∵ 四边形 $ABCD$ 是平行四边形，四边形 $AHCG$ 是平行四边形，
∴ $AB = CD$，$CG = AH = 2$.
∵ $DG = 3$，
∴ $AB = CD = DG + CG = 3 + 2 = 5$.
∵ $O$ 为 $AC$，$BD$ 的中点，
∴ $AO=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}\times5 = 2.5$，$BO=\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}\times8 = 4$，
∴ $\triangle AOB$ 的周长为 $AO + BO + AB = 2.5 + 4 + 5 = 11.5$.

2 [2024哈尔滨顺迈学校月考]如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，点E,F分别在边AB,AC上，且BE = AF，点G在AD上，FG//AB，连接BG,EF,EF与AD相交于点H.
(1)求证：四边形BEFG是平行四边形.
(2)如图2，若∠GAF = ∠AEF，请直接写出图中所有的等腰三角形.

答案：
(1)证明：
∵ $FG// AB$，
∴ $\angle BAD=\angle AGF$.
∵ $\angle BAD=\angle GAF$，
∴ $\angle AGF=\angle GAF$，
∴ $AF = FG$.
∵ $BE = AF$，
∴ $FG = BE$.
又
∵ $FG// BE$，
∴ 四边形 $BEFG$ 为平行四边形.
(2)等腰三角形有 $\triangle AFG$，$\triangle AEH$，$\triangle FHG$，$\triangle ABG$.
∵ $AF = FG$，
∴ $\triangle AFG$ 是等腰三角形.
∵ $\angle AEF=\angle GAF=\angle EAH$，
∴ $AH = HE$，
∴ $\triangle AHE$ 是等腰三角形.
∵ $FG// AE$，
∴ $\angle HGF=\angle EAH$，$\angle HFG=\angle AEF$，
∴ $\angle HGF=\angle HFG$，
∴ $HG = HF$，
∴ $\triangle FHG$ 是等腰三角形.
∵ 四边形 $BEFG$ 是平行四边形，
∴ $\angle EBG=\angle HFG=\angle BAG$，
∴ $GA = GB$，
∴ $\triangle ABG$ 是等腰三角形. 综上所述，等腰三角形有 $\triangle AFG$，$\triangle AEH$，$\triangle FHG$，$\triangle ABG$.

3 如图，P是△ABC的边AB的中点，连接CP并延长，作BE⊥CP于E,AD⊥CP，交CP的延长线于点D，连接AE,BD.
(1)求证：四边形ADBE是平行四边形.
(2)若BE平分∠DBC，求△ABC与四边形ADBE的面积之比.

答案：
(1)证明：
∵ $P$ 为 $AB$ 的中点，
∴ $AP = BP$.
∵ $BE\perp CP$，$AD\perp CP$，
∴ $\angle ADP=\angle BEP = 90^{\circ}$.
在 $\triangle ADP$ 和 $\triangle BEP$ 中，$\begin{cases}\angle ADP=\angle BEP\\\angle APD=\angle BPE\\AP = BP\end{cases}$，
∴ $\triangle ADP\cong\triangle BEP(AAS)$，
∴ $DP = EP$，
又
∵ $AP = BP$，
∴ 四边形 $ADBE$ 是平行四边形.
(2)解：
∵ $BE\perp CP$，
∴ $\angle BED=\angle BEC = 90^{\circ}$.
∵ $BE$ 平分 $\angle DBC$，
∴ $\angle DBE=\angle CBE$.
在 $\triangle BED$ 和 $\triangle BEC$ 中，$\begin{cases}\angle BED=\angle BEC\\BE = BE\\\angle DBE=\angle CBE\end{cases}$，
∴ $\triangle BED\cong\triangle BEC(ASA)$，
∴ $CE = DE$.
由
(1)得，$DP = EP$，
∴ $CP=\frac{3}{2}DE$.
由
(1)可知，四边形 $ADBE$ 是平行四边形，
∴ $S_{平行四边形 ADBE}=2S_{\triangle ADE}$.
∵ $AP = BP$，
∴ $S_{\triangle ABC}=2S_{\triangle ACP}$，
∴ $\frac{S_{\triangle ACP}}{S_{\triangle ADE}}=\frac{\frac{1}{2}CP\cdot AD}{\frac{1}{2}DE\cdot AD}=\frac{CP}{DE}=\frac{3}{2}$，
∴ $\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{平行四边形 ADBE}}=\frac{2S_{\triangle ACP}}{2S_{\triangle ADE}}=\frac{3}{2}$.