《2025年活动单导学课程高中化学选择性必修第二册苏教版》

6. (拓展)空间利用率的计算方法。
将原子(离子)设想为一个球，依据晶胞内所含原子(离子)的数目计算原子(离子)的体积，再确定晶胞的体积，即可计算晶体(胞)的空间利用率。
$空间利用率 = \frac{晶胞含有原子(离子)的体积}{晶胞体积} × 100\%$

(1)简单立方堆积的空间利用率为52%(保留整数，下同)。
(2)体心立方堆积的空间利用率为68%。
(3)面心立方堆积的空间利用率为74%。
(4)六方堆积的空间利用率为74%。

答案：
6.
(1)52%
(2)68%
(3)74%
(4)74%
解析:
(1)在简单立方堆积(如图所示)中，1个晶胞中含有1个金属原子，设立方体的边长为a，原子半径为r，则晶胞体积为$a^{3}$，金属原子的半径$r=\frac{a}{2}$，则空间利用率=$\frac{\frac{4\pi}{3}r^{3}}{a^{3}}×100\%=\frac{\pi}{6}×100\%\approx52\%$。

(2)在体心立方堆积(如图所示)中，设立方体的边长为a，原子半径为r，则体对角线长度=$\sqrt{3}a=4r$，而1个晶胞中含有2个金属原子，则空间利用率=$\frac{2×\frac{4\pi}{3}r^{3}}{a^{3}}×100\%=\frac{\frac{8\pi}{3}r^{3}}{(\frac{4r}{\sqrt{3}})^{3}}×100\%=\frac{\sqrt{3}\pi}{8}×100\%\approx68\%$。

(3)在面心立方堆积(如图所示)中，设晶胞边长为a，原子半径为r，则面对角线长度=$\sqrt{2}a=4r$，$a=2\sqrt{2}r$，1个晶胞中含有4个金属原子，则空间利用率=$\frac{4×\frac{4}{3}\pi r^{3}}{a^{3}}=\frac{\frac{16\pi}{3}r^{3}}{(2\sqrt{2}r)^{3}}×100\%=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}×100\%\approx74\%$。

(4)在六方堆积(如图所示)中，设原子半径为r，则底面边长为2r，底面高$h_{1}=\sqrt{3}r$，所以底面积$S=2r×\sqrt{3}r=2\sqrt{3}r^{2}$。设正三棱锥的高为$h_{2}$，则$(\frac{2}{3}h_{1})^{2}+h_{2}^{2}=4r^{2}$，已知$h_{1}=\sqrt{3}r$，则$h_{2}=\frac{2\sqrt{6}}{3}r$，该晶胞的高$h=2h_{2}=2×\frac{2\sqrt{6}}{3}r$，所以晶胞体积$V_{晶胞}=S× h=2\sqrt{3}r^{2}×\frac{4\sqrt{6}}{3}r=8\sqrt{2}r^{3}$，1个晶胞中含有2个金属原子，则空间利用率=$\frac{2×\frac{4}{3}\pi r^{3}}{8\sqrt{2}r^{3}}×100\%=\frac{\pi}{3\sqrt{2}}×100\%\approx74\%$。

7. (拓展)计算金属晶体的密度、晶胞质量、阿伏加德罗常数。
求晶胞的质量：$m = \frac{NM}{N_A}$，$N$表示晶胞中平均含有的金属原子数，$M$表示金属的摩尔质量，$N_A$表示阿伏加德罗常数。
求金属晶体的密度：$\rho = \frac{m}{V}$，$V$表示晶胞的体积。
例：已知金属间可以形成合金，金和铜可以形成多种合金晶体。其中一种的晶体结构如图所示(为面心立方结构)。
(1)该金属化合物的化学式为AuCu3。
(2)已知$Au$的相对原子质量为 197，$Cu$的相对原子质量为 64，阿伏加德罗常数为$N_A mol^{-1}$，若该合金的密度为$d g/cm^3$，试计算两个最近金原子的核间距。

答案： 7.
(1)$AuCu_{3}$
(2)两个最近金原子的核间距=晶胞的棱长=$\sqrt[3]{\frac{(64×3 + 197)g/mol}{N_{A}mol^{-1}× dg/cm^{3}}}=\sqrt[3]{\frac{389}{N_{A}· d}}cm$。
解析:
(1)处于顶点的粒子为8个晶胞共有，每个原子有$\frac{1}{8}$属于该晶胞，则$Au$原子数=$8×\frac{1}{8}=1$；处于面上的粒子，同时为两个晶胞共有，每个原子有$\frac{1}{2}$属于该晶胞，则$Cu$原子数=$6×\frac{1}{2}=3$；原子数比$N(Cu):N(Au)=3:1$，则化学式为$AuCu_{3}$。
(2)晶胞体积$V=\frac{m}{\rho}=\frac{M}{d· N_{A}}=a^{3}$(设a为棱长)，则$a=\sqrt[3]{\frac{M}{d· N_{A}}}$。