《2025年新课程示径学案作业设计九年级数学全一册苏科版》

19. 已知关于x的方程$x^{2}-(m+1)x+2(m-1)= 0$.
(1)求证：无论m取何值时,方程总有实数根；
(2)若等腰三角形一边长为4,另两边长恰好是此方程的根,求此三角形的另两边长.

答案：
(1)见证明；
(2)4和2。

20. 我们规定：对于任意实数a,b,c,d,有$[a,b]*[c,d]= ac-bd$,其中等式右边是常用的乘法和减法运算,如：$[3,2]*[5,1]= 3×5-2×1= 13$.
(1)求$[-1,3]*[2,\frac{1}{3}]$的值；
(2)若关于x的方程$[2x,x-1]*[x+1,m]= 0$有两个相同的实数根,求m的值.

答案：
(1) 根据定义，$[-1,3]*[2,\frac{1}{3}] = (-1) × 2 - 3 × \frac{1}{3} = -2 - 1 = -3$。
(2) 根据定义，$[2x,x-1]*[x+1,m] = (2x)(x+1) - m(x-1)$。
将其展开得到 $2x^2 + 2x - mx + m = 0$，即$2x^2 + (2 - m)x + m = 0$。
由于方程有两个相同的实数根，所以判别式 $\Delta$ 应为0。
即：$\Delta = (2-m)^2 - 4 × 2 × m = 0$，
化简得：$m^2 - 4m + 4 - 8m = 0$，
进一步化简为：$m^2 - 12m + 4 = 0$，
解这个一元二次方程，我们得到：
$m = \frac{12 \pm \sqrt{12^2 - 4 × 1 × 4}}{2 × 1} = \frac{12 \pm \sqrt{144 - 16}}{2} = \frac{12 \pm \sqrt{128}}{2} = \frac{12 \pm 8\sqrt{2}}{2} = 6 \pm 4\sqrt{2}$，
所以$m$的值为$6 + 4\sqrt{2}$或$6 - 4\sqrt{2}$。

21. 为促进新旧功能转换,提高经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为25万元,经过市场调研发现,该设备的月销量y(单位：台)和销售单价x(单位：万元)满足如图所示的一次函数关系.
(1)求月销量y与销售单价x的函数关系式；
(2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于32万元,如果该公司想获得250万元的月利润,那么该设备的销售单价应是多少万元？

答案：
(1) 设$y$与$x$的函数关系式为$y = kx + b$。
把$(28,60)$，$(32,40)$代入$y = kx + b$，得：
$\begin{cases}28k + b = 60, \\32k + b = 40.\end{cases}$
两式相减得：$4k = -20$，解得$k = -5$。
把$k = -5$代入$28k + b = 60$，得$-140 + b = 60$，解得$b = 200$。
所以$y$与$x$的函数关系式为$y = -5x + 200$。
(2) 由题意得$(x - 25)(-5x + 200) = 250$。
展开得$-5x^2 + 200x + 125x - 5000 = 250$。
整理得$-5x^2 + 325x - 5250 = 0$，两边同时除以$-5$得$x^2 - 65x + 1050 = 0$。
因式分解得$(x - 30)(x - 35) = 0$，解得$x_1 = 30$，$x_2 = 35$。
因为销售单价不得高于$32$万元，所以$x = 35$不合题意，舍去。
答：该设备的销售单价应是$30$万元。