《2025年新课程示径学案作业设计九年级数学全一册苏科版》

1. 若等腰三角形的底边长为 10 cm,周长为 36 cm,则底角的正弦值为 (D)
A.$\frac{5}{18}$
B.$\frac{5}{16}$
C.$\frac{13}{15}$
D.$\frac{12}{13}$

答案： D

2. 在 Rt△ABC 中,AD 是斜边 BC 上的高,如果 $BC= a$,$\angle B= \alpha$,那么 AD 等于 (C)
A.$a\sin2\alpha$
B.$a\cos2\alpha$
C.$a\sin\alpha\cos\alpha$
D.$a\sin\alpha\tan\alpha$

答案： C

3. 在 Rt△ABC 中,$\angle C= 90^\circ$,$\angle A= 30^\circ$,$AC= 3$,则 $BC= $$\sqrt{3}$,$AB= $$2\sqrt{3}$.

答案： $\sqrt{3}$；$2\sqrt{3}$

4. 半径为 20 的圆的内接正三角形的边长为$20\sqrt{3}$.

答案： $20\sqrt{3}$

5. 在 Rt△ABC 中,$\angle C= 90^\circ$,$b+c= 24$,$\angle A-\angle B= 30^\circ$,解此直角三角形.

答案： 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle C=90^\circ$，所以$\angle A + \angle B = 90^\circ$。
根据题目条件，$\angle A - \angle B = 30^\circ$。
解这个方程组：
$\begin{cases}\angle A + \angle B = 90^\circ,\\\angle A - \angle B = 30^\circ.\end{cases}$
得到$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 30^\circ$。
利用正弦函数，有$\sin B = \frac{b}{c}$。
因为$\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$，所以$\frac{b}{c} = \frac{1}{2}$，即$c = 2b$。
根据题目条件，$b + c = 24$，将$c = 2b$代入，得到$b + 2b = 24$，解得$b = 8$。
所以$c = 2b = 16$。
利用勾股定理，$a = \sqrt{c^2 - b^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$。
综上，$Rt \bigtriangleup ABC$的三边长为$a = 8\sqrt{3}$，$b = 8$，$c = 16$，角度$\angle A = 60^\circ$，$\angle B = 30^\circ$，$\angle C = 90^\circ$。

6. 在△ABC 中,$\angle C= 90^\circ$,$\angle B= 30^\circ$,AD 是$\angle BAC$的平分线,交 BC 于点 D. 已知 $AB= 4\sqrt{3}$,求 AD 的长.

答案： 在$Rt \bigtriangleup ABC$中，$\angle B=30^\circ$，$AB= 4\sqrt{3}$，
$\therefore AC = \frac{1}{2}AB =2\sqrt{3}$，
$\angle BAC=90^\circ-\angle B=60^\circ$，
$\because AD$是$\angle BAC$的平分线，
$\therefore \angle DAC=\frac{1}{2}\angle BAC=30^\circ$，
$\therefore AD=\frac{AC}{\cos 30^\circ}=\frac{2\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=4$。
综上，AD的长为4。

7. 已知 BD,CE 分别是△ABC 的两条高,$\angle BCE= 45^\circ$,$\angle CBD= 30^\circ$. 若 $CE= 3\sqrt{2}$,求 BD 的长.

答案： 因为$CE \perp AB$，且$\angle BCE = 45^\circ$，
所以$\angle BEC = 90^\circ$，且$\bigtriangleup BEC$为等腰直角三角形，
所以$BC = \sqrt{2} × CE = \sqrt{2} × 3\sqrt{2} = 6$，
因为$BD \perp AC$，且$\angle CBD = 30^\circ$，
在直角三角形$\bigtriangleup BCD$中，由$30^\circ-60^\circ-90^\circ$的直角三角形性质，
我们有$BD = BC × \cos 30^\circ = 6 × \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$，
所以$BD = 3\sqrt{3}$。