《2025年新课程示径学案作业设计九年级数学全一册苏科版》

8. 数学家华罗庚曾有一首脍炙人口的数形结合诗：“数形本是相依偎,焉能分作两边飞。数无形时少直观,形缺数时难入微。”用数形结合的思想判断方程$|x^{2}-4x|-\left|\frac{3}{x}\right|=0$的根的情况是(D)
A.有一个实数根
B.有两个实数根
C.有三个实数根
D.有四个实数根

答案： D

9. 定义：如果两个一元二次方程有且只有一个相同的实数根,我们称这两个方程为“友好方程”。如果关于x的一元二次方程$x^{2}-2x= 0与x^{2}+3x+m-1= 0$为“友好方程”,那么m的值为1或-9。

答案： 本题应填$1$或$-9$，由于为填空题形式，没有对应选项，此处留空。

10. 已知a,b,c是△ABC的三边长,且关于x的方程$(a+b)x^{2}-2cx+a-b= 0$有两个相等的实数根。请你判断△ABC的形状。

答案： $\because$方程$(a+b)x^{2}-2cx+a-b= 0$有两个相等的实数根，
$\therefore \Delta=b^{2}-4ac=(-2c)^{2}-4(a+b)(a-b)=4c^{2}-4a^{2}+4b^{2}=0$，
即$c^{2}-a^{2}+b^{2}=0$，
即$c^{2}+b^{2}=a^{2}$，
$\therefore \triangle ABC$是直角三角形，且$\angle A=90^{\circ}$。

11. 嘉嘉准备完成题目。
化简：$(3x^{2}+□x)◇(10x+3x^{2}-15)$。
她发现“□”内的系数与“◇”内的运算符号印刷不清楚,淇淇告诉嘉嘉“◇”是＋,－中的某一个。
(1)若“□”内为2,“◇”内为＋,请化简原式。
(2)在(1)的情况下,是否存在实数x,使原式的值为－45？如果存在,求出x的值；如果不存在,请说明理由。
(3)若不论x取何实数,原式的值都是一个固定的常数,请直接写出原题中“□”内的数、“◇”内的运算符号以及原式的值。

答案：
(1) 原式=$(3x^{2}+2x)+(10x+3x^{2}-15)$
$=3x^{2}+2x+10x+3x^{2}-15$
$=6x^{2}+12x-15$
(2) 令$6x^{2}+12x-15=-45$
$6x^{2}+12x+30=0$
$x^{2}+2x+5=0$
$\Delta=2^{2}-4×1×5=4-20=-16＜0$
∴方程无实数根，不存在实数$x$
(3) “□”内的数为10，“◇”内的运算符号为$-$，原式的值为15