《2025年新课程示径学案作业设计九年级数学全一册苏科版》

8. 如图,在平面直角坐标系xOy中,四边形OABC是正方形,点A的坐标为(m,0).将正方形OABC绕点O逆时针旋转α角,得到正方形ODEF,DE与边BC交于点M,且点M与点B,C不重合.
(1)请判断线段CD与OM的位置关系,其位置关系是垂直；
(2)试用含m和α的代数式表示线段CM的长,并求α的取值范围.
CM = m(1 - sin α)/cos α，α的取值范围是0° ＜ α ＜ 90°。

答案：
(1) 垂直
(2) 由题意，正方形OABC中，B(m,m)，C(0,m)，BC所在直线方程为y=m。旋转后正方形ODEF的顶点D(m cos α, m sin α)，E(m(cos α - sin α), m(sin α + cos α))。直线DE的斜率k = (y_E - y_D)/(x_E - x_D) = -cot α，其方程为y - m sin α = -cot α (x - m cos α)。
令y=m，解得x = m(1 - sin α)/cos α，即点M的横坐标为m(1 - sin α)/cos α。
因为C(0,m)，M(m(1 - sin α)/cos α, m)，所以CM = m(1 - sin α)/cos α。
α的取值范围：由于M在BC上且不与B、C重合，0 ＜ (1 - sin α)/cos α ＜ 1，结合cos α ＞ 0，解得0 ＜ α ＜ 90°。
CM = m(1 - sin α)/cos α，α的取值范围是0° ＜ α ＜ 90°。

9. 如图,将含30°角的直角三角尺ABC(∠A= 30°)绕其直角顶点C顺时针旋转α角(0°＜α＜90°),得到Rt△A'B'C,A'C与AB交于点D,过点D作DE//A'B'交CB'于点E,连接BE.易知,在旋转过程中,△BDE为直角三角形.设BC= 1,AD= x,△BDE的面积为S.
(1)当α= 30°时,求x的值；
(2)求S关于x的函数表达式,并写出x的取值范围；
(3)以E为圆心,BE为半径作⊙E,当S= $\frac{1}{4}$S△ABC时,判断⊙E与A'C的位置关系,并求相应的tanα值.

答案：
(1)1；
(2)S=(2-x)²/(2√3)，0＜x＜2；
(3)相切，tanα=(4-√3)/3。