《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

8. 如图,在△ABC和△AEF中,AB= AC,AE= AF,∠BAC= ∠EAF。BE分别交AC,CF于点D,O。
(1) 求证：BE= CF；
(2) 当∠BAC= 70°时,求∠BOC的度数。

答案：
(1)证明:因为∠BAC=∠EAF，所以∠BAC+∠CAE=∠EAF+∠CAE，即∠EAB=∠FAC.在△EAB和△FAC中，AB=AC，∠EAB=∠FAC，AE=AF，所以△EAB≌△FAC(SAS).所以BE=CF.
(2)解:∠BOC=70°.

9. 如图,在△ABC中,BE,CF分别是AC,AB两边上的高,在BE上截取BD= AC,在CF的延长线上截取CG= AB,连接AD,AG。
(1) 求证：AD= AG；
(2) 判断AD与AG的位置关系,并说明理由。

答案：
(1)证明:因为BE⊥AC，CF⊥AB，所以∠HFB=∠HEC=90°.又因为∠BHF=∠CHE，所以∠ABD=∠ACG.在△ABD和△GCA中，AB=GC，∠ABD=∠GCA，BD=CA，所以△ABD≌△GCA(SAS).所以AD=AG.
(2)解:AD⊥AG.理由:因为△ABD≌△GCA，所以∠ADB=∠GAC.又因为∠ADB=∠AED+∠DAE，∠GAC=∠GAD+∠DAE，所以∠GAD=∠AED=90°，所以AD⊥AG.

10. 如图①,正方形ABCD的边AB,AD分别在等腰直角三角形AEF的腰AE,AF上,点C在△AEF内,则有DF= BE(不必证明)。将正方形ABCD绕点A逆时针旋转一定角度α(0°＜α＜90°)后,连接BE,DF。请在图②中用实线补全图形,这时DF= BE还成立吗？请说明理由。

答案： 解:补全图形如图所示.DF=BE成立.理由:因为∠FAE=∠DAB=90°，所以∠FAE - ∠DAE=∠DAB - ∠DAE，即∠FAD=∠EAB.在△ADF和△ABE中，AF=AE，∠FAD=∠EAB，AD=AB，所以△ADF≌△ABE(SAS).所以DF=BE.