《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 已知在$\triangle ABC$中,$\angle A= \angle B-\angle C$,则$\triangle ABC$为(C)
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.以上都有可能

答案： C

2. 如图,在$\triangle ABC$中,$CD是边AB$上的高,$\angle BCD= 30^{\circ}$,$\angle ACB= 80^{\circ}$,$AE是\angle CAB$的平分线,则$\angle AEB$的度数是100°.

答案： 100°

3. 如图,$C处在B处的北偏西40^{\circ}$方向,$C处在A处的北偏西75^{\circ}$方向,则$\angle ACB$的度数为35°.

答案： 35°

4. (新定义题)在一个三角形中,如果一个内角是另一个内角的$3$倍,那么这样的三角形我们称为“三倍角三角形”. 例如,一个三角形的三个内角分别为$120^{\circ}$,$40^{\circ}$,$20^{\circ}$,则这个三角形是“三倍角三角形”.
(1) 在$\triangle ABC$中,$\angle A= 35^{\circ}$,$\angle B= 40^{\circ}$,$\triangle ABC$是“三倍角三角形”吗？为什么？
(2) 若$\triangle ABC$是“三倍角三角形”,且$\angle B= 30^{\circ}$,求$\triangle ABC$中最小内角的度数.

答案：
(1)△ABC是“三倍角三角形”.理由如下:因为∠A=35°,∠B=40°,所以∠C=180°-35°-40°=105°=3∠A,所以△ABC是“三倍角三角形”
(2)由题意可知,∠A+∠C=150°.设最小内角的度数为x.①若30°=3x,则x=10°,180°-30°-10°=140°,成立.②若x+3x=150°,则x=37.5°,30°＜37.5°,所以不成立.③若x=30°,则30°×3=90°,180°-30°-90°=60°,成立.所以△ABC中最小内角的度数为10°或30°.

5. 在$\triangle ABC$中,$AD$是角平分线,$\angle B＜\angle C$,
(1) 如图①,$AE是\triangle ABC$的高,$\angle B= 50^{\circ}$,$\angle C= 70^{\circ}$,求$\angle DAE$的度数.
(2) 如图②,点$E在AD$上,$EF\perp BC于点F$,试探究$\angle DEF与\angle B$,$\angle C$的数量关系,并证明你的结论.
(3) 如图③,点$E在AD$的延长线上,$EF\perp BC于点F$,此时(2)中的结论还成立吗？试说明理由.

答案：

(1)因为AD是∠BAC的平分线，所以∠CAD=$\frac{1}{2}$∠BAC.因为AE⊥BC,所以∠CAE=90°-∠C,所以∠DAE=∠CAD-∠CAE =$\frac{1}{2}$∠BAC-(90°-∠C)=$\frac{1}{2}$(180°-∠B-∠C)-(90°-∠C)=$\frac{1}{2}$∠C-$\frac{1}{2}$∠B=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).因为∠B=50°,∠C=70°,所以∠DAE=$\frac{1}{2}$×(70°-50°)=10°.
(2)∠DEF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).证明如下:如图，过点A作AG⊥BC于点G.　　　　　　　 因为EF⊥BC,所以AG//EF，所以∠DAG=∠DEF.由
(1)可得,∠DAG=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B),所以∠DEF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B).
(3)成立.理由如下:如图，过点A作AG⊥BC于点G.　　　　　　　　　　　　　 因为EF⊥BC,所以AG//EF,所以∠DAG=∠DEF.由
(1)可得,∠DAG=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B),所以∠DEF=$\frac{1}{2}$(∠C-∠B),所以
(2)中的结论成立.

6. 如图,在$\triangle ABC$中,$\angle A= 60^{\circ}$,$\angle ACB= 42^{\circ}$,$D为边BC$延长线上一点,$BF平分\angle ABC$,$E为射线BF$上一点. 若直线$CE垂直于\triangle ABC$的一边,求$\angle BEC$的度数.

答案： ∠BEC的度数为51°或129°或9°