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1. 如图,等边三角形 $ ABC $ 的三条角平分线相交于点 $ O $,过点 $ O $ 作 $ EF // BC $ 交 $ AB $ 于点 $ E $,交 $ AC $ 于点 $ F $,那么这个图形中的等腰三角形共有(
A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.7 个
D
)A.4 个
B.5 个
C.6 个
D.7 个
答案：
D
2. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ AB = 6 $,$ BD $ 是 $ \angle ABC $ 的平分线,延长 $ BC $ 到点 $ E $,使 $ CE = CD $,则 $ BE $ 的长为(
A.7
B.8
C.$ \frac{17}{2} $
D.9
D
)A.7
B.8
C.$ \frac{17}{2} $
D.9
答案：
D
3. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ AD $ 是 $ \triangle ABC $ 的角平分线,$ \triangle ADE $ 是等边三角形,$ AB $ 与 $ ED $ 相交于点 $ F $,有下列结论：① $ AD \perp BC $；② $ EF = FD $；③ $ BE = BD $。其中正确的个数为(
A.0
B.1
C.2
D.3
D
)A.0
B.1
C.2
D.3
答案：
D
4. 如图,$ \triangle ABC $ 是等边三角形,$ AD \perp BC $ 于点 $ D $,$ AE = AD $,则 $ \angle CDE = $
$15^{\circ }$
。
答案：
$15^{\circ }$
5. 如图,$ OP $ 平分 $ \angle AOB $,$ \angle AOP = 15^{\circ} $,$ PC // OA $,$ PD \perp OA $ 于点 $ D $,$ PC = 4 $,则 $ PD = $
2
。
答案：
2
6. 如图,已知 $ \angle O = 60^{\circ} $,点 $ C $ 在 $ OB $ 上,$ OC = 8 $,点 $ D $,$ E $ 在 $ OA $ 上,且 $ CD = CE $。若 $ DE = 4 $,则 $ OE $ 的长为
2
。
答案：
2
7. 如图,已知 $ \triangle ABC $ 为等边三角形,$ D $ 为 $ BC $ 延长线上的一点,$ CE $ 平分 $ \angle ACD $,$ CE = BD $,求证：$ \triangle ADE $ 是等边三角形。
答案：
证明:因为$\triangle ABC$为等边三角形，
所以$AB=AC$，$\angle B=\angle ACB=60^{\circ }$，
所以$\angle ACD=120^{\circ }$.
又因为CE平分$\angle ACD$，
所以$\angle ACE=60^{\circ }$，所以$\angle B=\angle ACE$.
又因为$BD=CE$，
所以$\triangle ABD\cong \triangle ACE(SAS)$，
所以$\angle BAD=\angle CAE$，$AD=AE$，
所以$\angle CAE - \angle CAD=\angle BAD - \angle CAD$，
即$\angle EAD=\angle BAC=60^{\circ }$.
又因为$AD=AE$，
所以$\triangle ADE$是等边三角形.
所以$AB=AC$，$\angle B=\angle ACB=60^{\circ }$，
所以$\angle ACD=120^{\circ }$.
又因为CE平分$\angle ACD$，
所以$\angle ACE=60^{\circ }$，所以$\angle B=\angle ACE$.
又因为$BD=CE$，
所以$\triangle ABD\cong \triangle ACE(SAS)$，
所以$\angle BAD=\angle CAE$，$AD=AE$，
所以$\angle CAE - \angle CAD=\angle BAD - \angle CAD$，
即$\angle EAD=\angle BAC=60^{\circ }$.
又因为$AD=AE$，
所以$\triangle ADE$是等边三角形.
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