《2025年课时练人民教育出版社八年级数学上册人教版》

1. 如图,$\angle C= \angle D= 90^{\circ}$,若$\angle DAB的平分线AE交CD于点E$,连接$BE$,且$BE恰好平分\angle ABC$,则$AB的长与AD+BC$的长的大小关系是(B)

A.$AB＞AD+BC$
B.$AB= AD+BC$
C.$AB＜AD+BC$
D.无法确定

答案： B

2. 如图,$\triangle ABC的两个外角的平分线BP$,$CP交于点P$,$PE\perp AC于点E$。若$\triangle ABC的面积为10$,$\triangle BPC的面积为7$,$PE= 4$,则$\triangle ABC$的周长为(D)

A.$8$
B.$10$
C.$11$
D.$12$

答案： D

3. 如图,点$O在\triangle ABC$内,且到三边的距离相等,若$\angle BOC= 3\angle A$,则$\angle A= $36°。

答案： 36°

4. 如图,$AB// CD$,点$P到AB$,$BC$,$CD$的距离都相等,则$\angle P= $90°。

答案： 90°

5. 如图,已知$\triangle ABC的两个外角的平分线交于点D$,连接$AD$。求证：$AD是\angle BAC$的平分线。

答案： 证明:如图，分别过点D作DE⊥AB,DF⊥BC,DG⊥AC,垂足分别为E,F,G.因为BD平分∠CBE,DE⊥BE,DF⊥BC,所以DE=DF.同理DG=DF,所以DE=DG,所以点D在∠EAG的平分线上，所以AD是∠BAC的平分线.

6. 如图,已知$AC平分\angle BAD$,$CE\perp AB于点E$,$CF\perp AD于点F$,且$BC= CD$。
(1)求证：$\triangle BCE\cong\triangle DCF$；
(2)若$AB= 15$,$AD= 7$,求$BE$的长。

答案： 6.
(1)证明:因为AC平分∠BAD,CE⊥AB，CF⊥AD,所以CE=CF.在Rt△BCE和Rt△DCF中,{BC=DC,CE=CF},所以Rt△BCE≌Rt△DCF(HL).
(2)解:在Rt△ACE和Rt△ACF中,{AC=AC,CE=CF},所以Rt△ACE≌Rt△ACF(HL).所以AE=AF.由
(1),知Rt△BCE≌Rt△DCF,所以DF=BE.设DF=BE=x,则AE=AB - BE=15 - x,DF=AF - AD=15 - x - 7=8 - x,所以8 - x=x,解得x=4.所以BE的长为4.

7. 在$\triangle ABC$中,若$AD是\angle BAC$的平分线,点$E和点F分别在AB和AC$上,且$DE\perp AB$,垂足为$E$,$DF\perp AC$,垂足为$F$(如图①),则可以得到以下两个结论：①$\angle AED+\angle AFD= 180^{\circ}$；②$DE= DF$。那么在$\triangle ABC$中,仍然有条件“$AD是\angle BAC$的平分线,点$E和点F分别在AB和AC$上”,请探究以下两个问题：
(1)若$\angle AED+\angle AFD= 180^{\circ}$(如图②),则$DE与DF$是否仍相等？若仍相等,请证明；否则请举出反例。
(2)如图②,若$DE= DF$,则$\angle AED+\angle AFD= 180^{\circ}$是否成立？(只写出结论,不证明)

答案： 7.解:
(1)相等.证明:如图，过点D作DG⊥AB于点G,DH⊥AC于点H.因为AD是∠BAC的平分线，所以DG=DH,∠AGD+∠AHD=180°.因为四边形的内角和是360°,所以∠HAG+∠GDH=180°.因为∠AED+∠AFD=180°,所以∠HAG+∠EDF=180°,所以∠GDH=∠EDF,所以∠GDH - ∠GDF=∠EDF - ∠GDF,即∠HDF=∠GDE.在△GDE和△HDF中,{∠EGD=∠FHD,DG=DH,∠GDE=∠HDF},所以△GDE≌△HDF(ASA).所以DE=DF.
(2)成立.