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1. 下列运算正确的是(
A.$2x^{2}y - 3xy^{2}= -x^{2}y$
B.$(4x^{8}y^{2})÷(2x^{2}y^{2}) = 2x^{4}$
C.$(x - y)(-x - y)= x^{2}-y^{2}$
D.$(x^{2}y^{3})^{2}= x^{4}y^{6}$
D
)A.$2x^{2}y - 3xy^{2}= -x^{2}y$
B.$(4x^{8}y^{2})÷(2x^{2}y^{2}) = 2x^{4}$
C.$(x - y)(-x - y)= x^{2}-y^{2}$
D.$(x^{2}y^{3})^{2}= x^{4}y^{6}$
答案：
D
2. 若$(a + 2)(a - 2)= 45$,则$a$的值为(
A.$\pm7$
B.$\pm3$
C.$7$
D.$3$
A
)A.$\pm7$
B.$\pm3$
C.$7$
D.$3$
答案：
A
3. 对于任意正整数$n$,能整除式子$(3n + 1)(3n - 1)-(3 - n)(3 + n)$的整数是(
A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$10$
D
)A.$3$
B.$6$
C.$9$
D.$10$
答案：
D
4. 计算：$(a + b)(b - a)= $
$b^{2}-a^{2}$
.
答案：
$b^{2}-a^{2}$
5. 若$(kx + 4)(kx - 4)= 25x^{2}-n$,则$k + n$的值是
21或11
.
答案：
21或11
6. 若$(a^{2}+b^{2}-1)(a^{2}+b^{2}+1)= 80$,则$a^{2}+b^{2}= $
9
.
答案：
9
7. 已知$2a^{2}= 4 - 2a$,求代数式$(a + 2)(a - 2)+a(a + 2)$的值.
答案：
解:0.
8. 利用平方差公式计算：
(1) $3000^{2}-2998×3002$.
(2) $-19\frac{7}{9}×20\frac{2}{9}$.
(1) $3000^{2}-2998×3002$.
(2) $-19\frac{7}{9}×20\frac{2}{9}$.
答案：
$(1)$ 计算$3000^{2}-2998×3002$
解：
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对$2998×3002$进行变形，$2998 = 3000 - 2$，$3002 = 3000 + 2$，则：
$\begin{aligned}&3000^{2}-2998×3002\\=&3000^{2}-(3000 - 2)×(3000 + 2)\\=&3000^{2}-(3000^{2}-2^{2})\\=&3000^{2}-3000^{2}+4\\=&4\end{aligned}$
$(2)$ 计算$-19\frac{7}{9}×20\frac{2}{9}$
解：
先将带分数变形，$-19\frac{7}{9}=-(20-\frac{2}{9})$，$20\frac{2}{9}=20+\frac{2}{9}$，根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，则：
$\begin{aligned}&-19\frac{7}{9}×20\frac{2}{9}\\=&-(20-\frac{2}{9})×(20+\frac{2}{9})\\=&-(20^{2}-(\frac{2}{9})^{2})\\=&-(400-\frac{4}{81})\\=&-399\frac{77}{81}\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{4}$；$(2)$$\boldsymbol{-399\frac{77}{81}}$。
解：
根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，对$2998×3002$进行变形，$2998 = 3000 - 2$，$3002 = 3000 + 2$，则：
$\begin{aligned}&3000^{2}-2998×3002\\=&3000^{2}-(3000 - 2)×(3000 + 2)\\=&3000^{2}-(3000^{2}-2^{2})\\=&3000^{2}-3000^{2}+4\\=&4\end{aligned}$
$(2)$ 计算$-19\frac{7}{9}×20\frac{2}{9}$
解：
先将带分数变形，$-19\frac{7}{9}=-(20-\frac{2}{9})$，$20\frac{2}{9}=20+\frac{2}{9}$，根据平方差公式$(a+b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，则：
$\begin{aligned}&-19\frac{7}{9}×20\frac{2}{9}\\=&-(20-\frac{2}{9})×(20+\frac{2}{9})\\=&-(20^{2}-(\frac{2}{9})^{2})\\=&-(400-\frac{4}{81})\\=&-399\frac{77}{81}\end{aligned}$
综上，答案依次为$(1)$$\boldsymbol{4}$；$(2)$$\boldsymbol{-399\frac{77}{81}}$。
9. (新定义题)引入新数$i$,新数$i$满足分配律、结合律、交换律,已知$i^{2}= -1$,则$(1 + i)\cdot(1 - i)= $
2
.
答案：
2
10. (阅读理解题)先阅读材料,再解决问题.
小亮同学遇到了下面一个作业题：
计算：$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$.
经过观察,小亮发现若将原式进行适当的变形会出现特殊的结构,进而可应用平方差公式解决问题,具体解法如下：
$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)$
$=2^{8}-1$.
请根据小亮的方法,试着解决以下问题：
(1) 计算：$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)$；
(2) 计算：$(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)$.
小亮同学遇到了下面一个作业题：
计算：$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$.
经过观察,小亮发现若将原式进行适当的变形会出现特殊的结构,进而可应用平方差公式解决问题,具体解法如下：
$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)$
$=(2^{4}-1)×(2^{4}+1)$
$=2^{8}-1$.
请根据小亮的方法,试着解决以下问题：
(1) 计算：$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)$；
(2) 计算：$(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)$.
答案：
$(1)$ 计算$(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)$
解：
$\begin{aligned}&(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2^{8}-1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2^{16}-1)×(2^{16}+1)\\=&2^{32}-1\end{aligned}$
$(2)$ 计算$(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)$
解：
$\begin{aligned}&(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3 - 1)×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{2}-1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{4}-1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{8}-1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{16}-1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{32}-1)\\=&\frac{3^{32}-1}{2}\end{aligned}$
综上，$(1)$的结果为$2^{32}-1$；$(2)$的结果为$\frac{3^{32}-1}{2}$。
解：
$\begin{aligned}&(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2 - 1)×(2 + 1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2^{2}-1)×(2^{2}+1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2^{4}-1)×(2^{4}+1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2^{8}-1)×(2^{8}+1)×(2^{16}+1)\\=&(2^{16}-1)×(2^{16}+1)\\=&2^{32}-1\end{aligned}$
$(2)$ 计算$(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)$
解：
$\begin{aligned}&(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3 - 1)×(3 + 1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{2}-1)×(3^{2}+1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{4}-1)×(3^{4}+1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{8}-1)×(3^{8}+1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{16}-1)×(3^{16}+1)\\=&\frac{1}{2}×(3^{32}-1)\\=&\frac{3^{32}-1}{2}\end{aligned}$
综上，$(1)$的结果为$2^{32}-1$；$(2)$的结果为$\frac{3^{32}-1}{2}$。
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