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1. 下列计算正确的是(
A.$a + a = a^2$
B.$5a - 3a = 2$
C.$3x \cdot 2x = 6x^2$
D.$(-x)^3 ÷ (-x)^2 = x$
C
)A.$a + a = a^2$
B.$5a - 3a = 2$
C.$3x \cdot 2x = 6x^2$
D.$(-x)^3 ÷ (-x)^2 = x$
答案：
C
2. 若(
A.$-3y$
B.$3xy$
C.$-3xy$
D.$3x^2y$
B
)$\cdot xy = 3x^2y^2$,则括号里应填的单项式是( )A.$-3y$
B.$3xy$
C.$-3xy$
D.$3x^2y$
答案：
B
3. 计算$(-3a^3)^2 ÷ a^2$的结果是(
A.$9a^3$
B.$9a^4$
C.$-6a^4$
D.$-6a^3$
B
)A.$9a^3$
B.$9a^4$
C.$-6a^4$
D.$-6a^3$
答案：
B
4. 若一个长方形的面积为$2xy^3 - 6x^2y^2 + 3xy$,长为$2xy$,则这个长方形的宽为(
A.$y^2 - 3xy + \frac{3}{2}$
B.$2y^2 - 2xy + 3$
C.$2y^2 - 6xy + 3$
D.$2y^2 - xy + \frac{3}{2}$
A
)A.$y^2 - 3xy + \frac{3}{2}$
B.$2y^2 - 2xy + 3$
C.$2y^2 - 6xy + 3$
D.$2y^2 - xy + \frac{3}{2}$
答案：
A
5. 计算：$(ab^2)^3 ÷ (-ab)^2 = $
$ab^{4}$
。
答案：
$ab^{4}$
6. 已知$a^x = 4$,$a^y = 2$,则$a^{2x - 3y} = $
2
。
答案：
2
7. 计算：
(1) $3(x^2)^3 \cdot x^3 - (x^3)^3 + (-x)^2 \cdot x^9 ÷ x^2$；
(2) $\frac{4}{3}a^6b^8 ÷ (-\frac{1}{3}ab^2)^2 - \frac{1}{2}a^2 \cdot (-6ab^2)^2$；
(3) $(-4a^3b^3 + 3a^2b^2 - \frac{1}{2}ab) ÷ (-\frac{1}{2}ab)$。
(1) $3(x^2)^3 \cdot x^3 - (x^3)^3 + (-x)^2 \cdot x^9 ÷ x^2$；
(2) $\frac{4}{3}a^6b^8 ÷ (-\frac{1}{3}ab^2)^2 - \frac{1}{2}a^2 \cdot (-6ab^2)^2$；
(3) $(-4a^3b^3 + 3a^2b^2 - \frac{1}{2}ab) ÷ (-\frac{1}{2}ab)$。
答案：
1. （1）
解：
先根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，同底数幂的乘法公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，同底数幂的除法公式$a^m÷ a^n=a^{m - n}$进行计算：
$3(x^{2})^{3}\cdot x^{3}-(x^{3})^{3}+(-x)^{2}\cdot x^{9}÷ x^{2}$
$=3x^{6}\cdot x^{3}-x^{9}+x^{2}\cdot x^{9}÷ x^{2}$（根据$(a^m)^n = a^{mn}$，$(x^{2})^{3}=x^{6}$，$(x^{3})^{3}=x^{9}$，$(-x)^{2}=x^{2}$）
$=3x^{6 + 3}-x^{9}+x^{2+9 - 2}$（根据$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$a^m÷ a^n=a^{m - n}$）
$=3x^{9}-x^{9}+x^{9}$
$=(3 - 1+1)x^{9}$
$=3x^{9}$。
2. （2）
解：
先根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，再根据单项式除以单项式公式$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，单项式乘以单项式公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$进行计算：
$\frac{4}{3}a^{6}b^{8}÷(-\frac{1}{3}ab^{2})^{2}-\frac{1}{2}a^{2}\cdot(-6ab^{2})^{2}$
$=\frac{4}{3}a^{6}b^{8}÷(\frac{1}{9}a^{2}b^{4})-\frac{1}{2}a^{2}\cdot36a^{2}b^{4}$（根据$(ab)^n=a^nb^n$，$(-\frac{1}{3}ab^{2})^{2}=\frac{1}{9}a^{2}b^{4}$，$(-6ab^{2})^{2}=36a^{2}b^{4}$）
$=(\frac{4}{3}÷\frac{1}{9})a^{6 - 2}b^{8 - 4}-(\frac{1}{2}×36)a^{2+2}b^{4}$（根据$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$）
$=12a^{4}b^{4}-18a^{4}b^{4}$
$=(12 - 18)a^{4}b^{4}$
$=-6a^{4}b^{4}$。
3. （3）
解：
根据多项式除以单项式公式$(a + b + c)÷ m=a÷ m + b÷ m + c÷ m$进行计算：
$(-4a^{3}b^{3}+3a^{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab)÷(-\frac{1}{2}ab)$
$=-4a^{3}b^{3}÷(-\frac{1}{2}ab)+3a^{2}b^{2}÷(-\frac{1}{2}ab)-\frac{1}{2}ab÷(-\frac{1}{2}ab)$
$=(-4÷(-\frac{1}{2}))a^{3 - 1}b^{3 - 1}+(3÷(-\frac{1}{2}))a^{2 - 1}b^{2 - 1}-(\frac{1}{2}÷(-\frac{1}{2}))a^{1 - 1}b^{1 - 1}$（根据$a^m÷ a^n=a^{m - n}$）
$=8a^{2}b^{2}-6ab + 1$。
综上，答案依次为：（1）$3x^{9}$；（2）$-6a^{4}b^{4}$；（3）$8a^{2}b^{2}-6ab + 1$。
解：
先根据幂的乘方公式$(a^m)^n = a^{mn}$，同底数幂的乘法公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，同底数幂的除法公式$a^m÷ a^n=a^{m - n}$进行计算：
$3(x^{2})^{3}\cdot x^{3}-(x^{3})^{3}+(-x)^{2}\cdot x^{9}÷ x^{2}$
$=3x^{6}\cdot x^{3}-x^{9}+x^{2}\cdot x^{9}÷ x^{2}$（根据$(a^m)^n = a^{mn}$，$(x^{2})^{3}=x^{6}$，$(x^{3})^{3}=x^{9}$，$(-x)^{2}=x^{2}$）
$=3x^{6 + 3}-x^{9}+x^{2+9 - 2}$（根据$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$，$a^m÷ a^n=a^{m - n}$）
$=3x^{9}-x^{9}+x^{9}$
$=(3 - 1+1)x^{9}$
$=3x^{9}$。
2. （2）
解：
先根据积的乘方公式$(ab)^n=a^nb^n$，再根据单项式除以单项式公式$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，单项式乘以单项式公式$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$进行计算：
$\frac{4}{3}a^{6}b^{8}÷(-\frac{1}{3}ab^{2})^{2}-\frac{1}{2}a^{2}\cdot(-6ab^{2})^{2}$
$=\frac{4}{3}a^{6}b^{8}÷(\frac{1}{9}a^{2}b^{4})-\frac{1}{2}a^{2}\cdot36a^{2}b^{4}$（根据$(ab)^n=a^nb^n$，$(-\frac{1}{3}ab^{2})^{2}=\frac{1}{9}a^{2}b^{4}$，$(-6ab^{2})^{2}=36a^{2}b^{4}$）
$=(\frac{4}{3}÷\frac{1}{9})a^{6 - 2}b^{8 - 4}-(\frac{1}{2}×36)a^{2+2}b^{4}$（根据$a^m÷ a^n=a^{m - n}$，$a^m\cdot a^n=a^{m + n}$）
$=12a^{4}b^{4}-18a^{4}b^{4}$
$=(12 - 18)a^{4}b^{4}$
$=-6a^{4}b^{4}$。
3. （3）
解：
根据多项式除以单项式公式$(a + b + c)÷ m=a÷ m + b÷ m + c÷ m$进行计算：
$(-4a^{3}b^{3}+3a^{2}b^{2}-\frac{1}{2}ab)÷(-\frac{1}{2}ab)$
$=-4a^{3}b^{3}÷(-\frac{1}{2}ab)+3a^{2}b^{2}÷(-\frac{1}{2}ab)-\frac{1}{2}ab÷(-\frac{1}{2}ab)$
$=(-4÷(-\frac{1}{2}))a^{3 - 1}b^{3 - 1}+(3÷(-\frac{1}{2}))a^{2 - 1}b^{2 - 1}-(\frac{1}{2}÷(-\frac{1}{2}))a^{1 - 1}b^{1 - 1}$（根据$a^m÷ a^n=a^{m - n}$）
$=8a^{2}b^{2}-6ab + 1$。
综上，答案依次为：（1）$3x^{9}$；（2）$-6a^{4}b^{4}$；（3）$8a^{2}b^{2}-6ab + 1$。
8. 先化简,再求值：$[(xy + 2)(xy - 2) + 4] ÷ (xy)$,其中$x = 2$,$y = -\frac{1}{2}$。
答案：
解:原式=$xy$. 当$x=2$,$y=-\frac{1}{2}$时,原式=$-1$.
9. (1) 若$x^m = 3$,$(x^2)^n = 9$,求$x^{m - 2n}$的值。
(2) 若$x^{2n} = 9$,求$(x^{3n})^2 - (x^2)^{2n}$的值。
(2) 若$x^{2n} = 9$,求$(x^{3n})^2 - (x^2)^{2n}$的值。
答案：
$(1)$ 求$x^{m - 2n}$的值
解：
根据幂的运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$。
已知$(x^{2})^{n}=9$，根据$(a^m)^n=a^{mn}$可得$x^{2n}=9$。
又已知$x^{m}=3$，再根据$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，则$x^{m - 2n}=\frac{x^{m}}{x^{2n}}$。
把$x^{m}=3$，$x^{2n}=9$代入上式可得：$x^{m - 2n}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
$(2)$ 求$(x^{3n})^{2}-(x^{2})^{2n}$的值
解：
根据幂的运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$。
对于$(x^{3n})^{2}$，根据$(a^m)^n=a^{mn}$可得$(x^{3n})^{2}=x^{6n}=(x^{2n})^3$；
对于$(x^{2})^{2n}$，根据$(a^m)^n=a^{mn}$可得$(x^{2})^{2n}=x^{4n}=(x^{2n})^2$。
已知$x^{2n}=9$，则$(x^{3n})^{2}-(x^{2})^{2n}=(x^{2n})^3-(x^{2n})^2$。
把$x^{2n}=9$代入上式可得：$9^3 - 9^2$
$=9^2×(9 - 1)$
$=81×8$
$=648$。
综上，答案依次为$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；$\boldsymbol{648}$。
解：
根据幂的运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$，$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$。
已知$(x^{2})^{n}=9$，根据$(a^m)^n=a^{mn}$可得$x^{2n}=9$。
又已知$x^{m}=3$，再根据$a^{m-n}=\frac{a^m}{a^n}$，则$x^{m - 2n}=\frac{x^{m}}{x^{2n}}$。
把$x^{m}=3$，$x^{2n}=9$代入上式可得：$x^{m - 2n}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$。
$(2)$ 求$(x^{3n})^{2}-(x^{2})^{2n}$的值
解：
根据幂的运算法则：$(a^m)^n=a^{mn}$。
对于$(x^{3n})^{2}$，根据$(a^m)^n=a^{mn}$可得$(x^{3n})^{2}=x^{6n}=(x^{2n})^3$；
对于$(x^{2})^{2n}$，根据$(a^m)^n=a^{mn}$可得$(x^{2})^{2n}=x^{4n}=(x^{2n})^2$。
已知$x^{2n}=9$，则$(x^{3n})^{2}-(x^{2})^{2n}=(x^{2n})^3-(x^{2n})^2$。
把$x^{2n}=9$代入上式可得：$9^3 - 9^2$
$=9^2×(9 - 1)$
$=81×8$
$=648$。
综上，答案依次为$\boldsymbol{\frac{1}{3}}$；$\boldsymbol{648}$。
10. 若$9^a \cdot 27^b ÷ 81^c = 27$,则$2a + 3b - 4c$的值为(
A.1
B.3
C.5
D.7
B
)A.1
B.3
C.5
D.7
答案：
B
11. 如果$(a - 1)^{a + 2} = 1$,那么$a$的值为
0或$-2$或2
。
答案：
0或$-2$或2
12. (阅读理解题)观察以下式子：
$(y^2 - 1) ÷ (y - 1) = y + 1$；
$(y^3 - 1) ÷ (y - 1) = y^2 + y + 1$；
$(y^4 - 1) ÷ (y - 1) = y^3 + y^2 + y + 1$；
……
请你根据对以上等式的理解,完成以下问题：
(1) $(y^6 - 1) ÷ (y - 1) = $
(2) $(y^n - 1) ÷ (y - 1) = $
(3) 计算：$(7 - 1) × (7^{10} + 7^9 + 7^8 + 7^7 + 7^6 + … + 7 + 1)$；
(4) 计算：$1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{2037}$。
(3)$7^{11}-1$.
(4)$2^{2038}-1$.
$(y^2 - 1) ÷ (y - 1) = y + 1$；
$(y^3 - 1) ÷ (y - 1) = y^2 + y + 1$；
$(y^4 - 1) ÷ (y - 1) = y^3 + y^2 + y + 1$；
……
请你根据对以上等式的理解,完成以下问题：
(1) $(y^6 - 1) ÷ (y - 1) = $
$y^{5}+y^{4}+y^{3}+y^{2}+y+1$
；(2) $(y^n - 1) ÷ (y - 1) = $
$y^{n-1}+y^{n-2}+·s +y+1$
($n$为正整数)；(3) 计算：$(7 - 1) × (7^{10} + 7^9 + 7^8 + 7^7 + 7^6 + … + 7 + 1)$；
(4) 计算：$1 + 2^1 + 2^2 + 2^3 + 2^4 + … + 2^{2037}$。
(3)$7^{11}-1$.
(4)$2^{2038}-1$.
答案：
1. （1）$y^{5}+y^{4}+y^{3}+y^{2}+y + 1$
2. （2）$y^{n - 1}+y^{n - 2}+·s+y^{2}+y + 1$
3. （3）
解：由$(y^{n}-1)÷(y - 1)=y^{n - 1}+y^{n - 2}+·s+y^{2}+y + 1$，当$y = 7$，$n=11$时，$7^{10}+7^{9}+7^{8}+7^{7}+7^{6}+·s+7 + 1=(7^{11}-1)÷(7 - 1)$。
则$(7 - 1)×(7^{10}+7^{9}+7^{8}+7^{7}+7^{6}+·s+7 + 1)=(7 - 1)×\frac{7^{11}-1}{7 - 1}=7^{11}-1$。
4. （4）
解：设$S = 1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+·s+2^{2037}$。
由$(y^{n}-1)÷(y - 1)=y^{n - 1}+y^{n - 2}+·s+y^{2}+y + 1$，这里$y = 2$，$n = 2038$，则$S=(2^{2038}-1)÷(2 - 1)$。
所以$S=2^{2038}-1$。
2. （2）$y^{n - 1}+y^{n - 2}+·s+y^{2}+y + 1$
3. （3）
解：由$(y^{n}-1)÷(y - 1)=y^{n - 1}+y^{n - 2}+·s+y^{2}+y + 1$，当$y = 7$，$n=11$时，$7^{10}+7^{9}+7^{8}+7^{7}+7^{6}+·s+7 + 1=(7^{11}-1)÷(7 - 1)$。
则$(7 - 1)×(7^{10}+7^{9}+7^{8}+7^{7}+7^{6}+·s+7 + 1)=(7 - 1)×\frac{7^{11}-1}{7 - 1}=7^{11}-1$。
4. （4）
解：设$S = 1+2^{1}+2^{2}+2^{3}+2^{4}+·s+2^{2037}$。
由$(y^{n}-1)÷(y - 1)=y^{n - 1}+y^{n - 2}+·s+y^{2}+y + 1$，这里$y = 2$，$n = 2038$，则$S=(2^{2038}-1)÷(2 - 1)$。
所以$S=2^{2038}-1$。
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