《2025年三维数字课堂七年级数学上册人教版》

5. (10分)某公司最近开发研究出一种新产品,现有甲、乙两个加工厂都想加工这批产品,已知甲、乙两个工厂每天分别能加工这种产品16件和24件,且知单独加工这批产品甲厂比乙厂要多用20天,又知若由甲厂单独加工,公司每天需付甲厂费用80元；若由乙厂单独加工,公司每天需付乙厂费用120元.
(1)这批新产品共有多少件？
(2)如果该公司制订了如下方案：可以由每个厂家单独加工,也可以由两个厂家同时合作加工,但在加工过程中,公司需派一名工程师到厂进行技术指导,并由公司为其提供每天15元的午餐补助,请你帮助公司选择一种既省时又省钱的加工方案,并说明理由。

答案： （1）设这批新产品共有$x$件。
根据题意，甲厂单独加工需要$\frac{x}{16}$天，乙厂单独加工需要$\frac{x}{24}$天，且甲厂比乙厂多用20天，可以列出方程：
$\frac{x}{16} - \frac{x}{24} = 20$，
解这个方程，得到：
$x = 960$，
所以，这批新产品共有960件。
（2）方案一：由甲厂单独加工，
所需时间为$\frac{960}{16} = 60$（天），
所需费用为$60 × (80 + 15) = 5700$（元）；
方案二：由乙厂单独加工，
所需时间为$\frac{960}{24} = 40$（天），
所需费用为$40 × (120 + 15) = 5400 (元)$；
方案三：由两个厂家同时合作加工，
所需时间为$\frac{960}{16 + 24} = 24$（天），
所需费用为$24 × (80 + 120 + 15) = 5160 (元)$；
比较三个方案，方案三所需时间最短，且费用最低，因此选择方案三既省时又省钱。

附加题(10分)
定义：如果两个一元一次方程的解之和为1,那么就称这两个方程互为“美好方程”
例如：∵方程$3x+1= 7的解为x= 2$,方程$1+x= 0的解为x= -1$,两个方程的解之和为1,∴这两个方程互为“美好方程”。
(1)请判断方程$2x-3= 1与方程3y+y= -4$是否互为“美好方程”。
(2)若关于$x的方程x+\frac{m}{2}= 0与方程5x= x+8$互为“美好方程”,求$m$的值。

答案：
(1)
解方程$2x - 3 = 1$：
$2x=1 + 3$，
$2x=4$，
$x = 2$。
解方程$3y+y=-4$，即$4y=-4$：
$y = - 1$。
两个方程解之和为$2+( - 1)=1$，所以方程$2x - 3 = 1$与方程$3y + y = - 4$互为“美好方程”。
(2)
解方程$5x=x + 8$：
$5x-x=8$，
$4x=8$，
$x = 2$。
因为方程$x+\frac{m}{2}=0$与方程$5x=x + 8$互为“美好方程”，所以方程$x+\frac{m}{2}=0$的解为$1 - 2=-1$。
把$x = - 1$代入方程$x+\frac{m}{2}=0$得：
$-1+\frac{m}{2}=0$，
$\frac{m}{2}=1$，
$m = 2$。
综上，
(1)中两个方程互为“美好方程”；
(2)中$m$的值为$2$。