《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二物理人教版》

【典例2】如图10-1所示,水平放置的汽缸内封闭一定质量的理想气体,活塞的质量$m = 10kg$,横截面积$S = 100cm^{2}$,活塞可沿汽缸壁无摩擦滑动且不漏气,活塞到汽缸底部的距离$L_{1} = 11cm$,到汽缸口的距离$L_{2} = 4cm$. 现将汽缸缓慢地转到开口向上的竖直位置,待稳定后对缸内气体逐渐加热,使活塞上表面刚好与汽缸口相平. 已知$g = 10m/s^{2}$,外界气温为$27^{\circ}C$,大气压强为$1.0×10^{5}Pa$,活塞厚度不计,则：

(1)活塞上表面刚好与汽缸口相平时,缸内气体的温度是多少?
(2)在对缸内气体加热的过程中,气体膨胀对外做功,同时吸收$Q = 350J$的热量,则气体增加的内能$\Delta U$是多大?

答案：
(1)当汽缸水平放置时，气体压强$p_{0}=1.0×10^{5}\ \text{Pa}$，体积$V_{0}=L_{1}S$，温度$T_{0}=(273 + 27)\ \text{K}=300\ \text{K}$。
汽缸口朝上稳定后，活塞受力平衡，有$p_{1}S = p_{0}S+mg$，此时气体体积$V_{1}=(L_{1}+L_{2})S$。
由理想气体状态方程$\frac{p_{0}V_{0}}{T_{0}}=\frac{p_{1}V_{1}}{T_{1}}$，代入数据得$\frac{p_{0}L_{1}S}{T_{0}}=\frac{p_{1}(L_{1}+L_{2})S}{T_{1}}$。
其中$p_{1}=p_{0}+\frac{mg}{S}=1.0×10^{5}+\frac{10×10}{100×10^{-4}}=1.1×10^{5}\ \text{Pa}$，解得$T_{1}=\frac{p_{1}(L_{1}+L_{2})T_{0}}{p_{0}L_{1}}=\frac{1.1×10^{5}×(0.11 + 0.04)×300}{1.0×10^{5}×0.11}=450\ \text{K}$。
(2)汽缸口向上未加热时，由玻意耳定律$p_{0}L_{1}S = p_{1}LS$，解得$L=\frac{p_{0}L_{1}}{p_{1}}=\frac{1.0×10^{5}×0.11}{1.1×10^{5}}=0.1\ \text{m}$。
加热过程气体等压膨胀，对外做功$W=-p_{1}(L_{1}+L_{2}-L)S=-1.1×10^{5}×(0.11 + 0.04-0.1)×100×10^{-4}=-55\ \text{J}$。
由热力学第一定律$\Delta U=W + Q=-55 + 350=295\ \text{J}$。
答案：
(1)$450\ \text{K}$；
(2)$295\ \text{J}$