《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二物理人教版》

9. 一根电阻$R = 0.6\Omega$的导线弯成一个圆形线圈,圆半径$r = 1m$,圆形线圈质量$m = 1kg$,此线圈放在绝缘光滑的水平面上,在y轴右侧有垂直线圈平面的磁感应强度$B = 0.5T$的匀强磁场,如图5-13所示。若线圈以初动能$E_{k0}= 5J$沿x轴正方向滑进磁场,当进入磁场0.5m时,线圈中产生的电能为$E_{电}= 3J$。求：
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(1) 此时线圈运动速度的大小；
(2) 此时线圈与磁场左边缘两交点间的电压大小；
(3) 此时线圈加速度的大小。

答案： 9.解析:
(1)线圈的初动能为5 J,进入磁场0.5 m时,线圈中产生的电能为3 J,设此时线圈运动的速度为v,由能量守恒定律得Eₖ₀ = Eₑ+$\frac{1}{2}$mv²,代入数据解得v = 2 m/s.
(2)线圈进入磁场x = 0.5 m时,由几何关系可得切割磁感线的有效长度L=$\sqrt{3}$ m,则感应电动势E = BLv = 0.5×$\sqrt{3}$×2 V=$\sqrt{3}$ V.由几何知识可得,线圈在磁场中的圆弧所对应的圆心角为θ = 120°,线圈在磁场外的电阻为R₁ = R - $\frac{R}{360°}$×120°=$\frac{2}{3}$R,线圈与磁场左边缘两交点间的电压U = IR₁=$\frac{E}{R}$×$\frac{2}{3}$R=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ V.
(3)线圈受到的安培力F = BIL = B$\frac{E}{R}$L,由牛顿第二定律有F = ma,代入数据解得a = 2.5 m/s².
答案:
(1)2 m/s
(2)$\frac{2\sqrt{3}}{3}$ V
(3)2.5 m/s²

10. 如图5-14甲所示,两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置。两导轨间距为L,M、P两点间接有阻值为R的电阻。一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上,并与导轨垂直。整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中,磁场方向垂直斜面向下。导轨和金属杆的电阻可忽略。让ab杆沿导轨由静止开始下滑,导轨和金属杆接触良好,不计它们之间的摩擦。
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(1) 由b向a方向看到的装置如图5-14乙,在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图；
(2) 在加速下滑时,当ab杆的速度大小为v时,求此时ab杆中的电流及其加速度的大小；
(3) 求在下滑过程中,ab杆可以达到的速度最大值。

答案：
10.解析:
(1)如答图5 - 1所示,重力mg竖直向下;支持力Fₙ垂直斜面向上;安培力F沿斜面向上.

(2)当ab杆速度为v时,感应电动势E = BLv.此时电路中电流I=$\frac{E}{R}$=$\frac{BLv}{R}$,ab杆受到安培力F = BIL=$\frac{B²L²v}{R}$.根据牛顿运动定律,有ma = mgsinθ - F = mgsinθ - $\frac{B²L²v}{R}$,a = gsinθ - $\frac{B²L²v}{mR}$.
(3)当a = 0时,即gsinθ=$\frac{B²L²v}{mR}$时,杆达到最大速度vₘ,vₘ=$\frac{mgRsinθ}{B²L²}$.
答案:
(1)见解析
(2)$\frac{BLv}{R}$ gsinθ - $\frac{B²L²v}{mR}$
(3)$\frac{mgRsinθ}{B²L²}$