《2025年暑假生活北京师范大学出版社高二物理人教版》

【典例 2】如图 4 - 3 所示,表面粗糙的斜面固定于地面上,并处于方向垂直纸面向外、磁感应强度为 $ B $ 的匀强磁场中。质量为 $ m $、电荷量为 $ + Q $ 的小滑块从斜面顶端由静止下滑。在滑块下滑的过程中,下列判断正确的是(C)。

A.滑块受到的摩擦力不变
B.滑块到达地面时的动能与 $ B $ 的大小无关
C.滑块受到的洛伦兹力方向垂直斜面向下
D.$ B $ 很大时,滑块可能静止于斜面上

答案： 解：对各选项分析如下：
选项A：滑块下滑时速度变化，洛伦兹力$F_{\text{洛}}=QvB$大小变化，对斜面压力$N=mg\cos\theta + F_{\text{洛}}$变化，摩擦力$f=\mu N$随之变化，A错误。
选项B：$B$越大，$F_{\text{洛}}$越大，$f$越大，摩擦力做功越多，由动能定理知滑块到达地面时动能越小，与$B$有关，B错误。
选项C：根据左手定则，正电荷$+Q$速度沿斜面向下，磁场垂直纸面向外，洛伦兹力方向垂直斜面向下，C正确。
选项D：滑块初始静止时不受洛伦兹力，能下滑说明$mg\sin\theta ＞ \mu mg\cos\theta$；运动后$F_{\text{洛}}$增大使$f$增大，最终可能匀速，但不会静止，D错误。
答案：C

【典例 3】如图 4 - 4 所示,两个带等量异种电荷的粒子 $ a $、$ b $ 分别以速度 $ v_a $ 和 $ v_b $ 射入匀强磁场,两粒子的入射方向与磁场边界的夹角分别为 $ 60^{\circ} $ 和 $ 30^{\circ} $,磁场宽度为 $ d $,两粒子同时由 $ A $ 点出发,同时到达 $ B $ 点,则(D)。
A.$ a $ 粒子带正电,$ b $ 粒子带负电
B.两粒子的轨道半径之比 $ R_a : R_b = 1 : \sqrt{3} $
C.两粒子的质量之比 $ m_a : m_b = 1 : 2 $
D.两粒子的质量之比 $ m_a : m_b = 2 : 1 $

答案： 【解析】：
本题主要考查带电粒子在匀强磁场中的运动规律，涉及左手定则、圆周运动的半径和周期公式等知识点。
使用左手定则判断粒子电性，根据几何关系求出粒子运动的轨道半径，利用圆周运动的周期公式求出周期，再结合两粒子运动时间相同求出质量之比。
A选项：由于两粒子最终都运动到$B$点，根据左手定则可知$a$粒子带负电，$b$粒子带正电，故A错误。
B选项：粒子做匀速圆周运动，由几何关系可得$a$粒子的轨道半径$R_a=\frac{\frac{1}{2}d}{\sin 30^{\circ}} = d$，$b$粒子的轨道半径$R_b=\frac{\frac{1}{2}d}{\sin 60^{\circ}}=\frac{\sqrt{3}}{3}d$，所以$R_a:R_b=\sqrt{3}:1$，故B错误。
C、D选项：由几何关系可知从$A$运动到$B$，$a$粒子转过的圆心角为$60^{\circ}$，$b$粒子转过的圆心角为$120^{\circ}$，因为两粒子同时出发同时到达$B$点，所以$t_a=\frac{T_a}{6}=t_b=\frac{T_b}{3}$，则$T_a:T_b = 2:1$。
根据洛伦兹力提供向心力$Bvq=\frac{mv^2}{R}$，可得运动周期$T=\frac{2\pi R}{v}=\frac{2\pi m}{qB}$，由于$a$、$b$粒子电荷量相等，所以$m_a:m_b=T_a:T_b = 2:1$，故C错误，D正确。
【答案】：D