《2025年暑假作业甘肃少年儿童出版社五年级数学人教版》

例 计算：$\frac{1}{2}+\frac{5}{6}+\frac{11}{12}+\frac{19}{20}+...+\frac{109}{110}$

答案： 思路与解法 原式$=(1-\frac{1}{2})+(1-\frac{1}{6})+(1-\frac{1}{12})+(1-\frac{1}{20})+...+(1-\frac{1}{110})$
$=(1+1+...+1)-(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}+\frac{1}{12}+\frac{1}{20}+...+\frac{1}{110})$
$=1×10-(1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{10}-\frac{1}{11})$
$=10-(1-\frac{1}{11})$
$=9\frac{1}{11}$
教练点拨 分数数列求和这类特殊分数规律要牢记：$\frac{1}{1×2}= \frac{1}{1}-\frac{1}{2}$,$\frac{1}{2×3}= \frac{1}{2}-\frac{1}{3}$,…,$\frac{1}{n(n+1)}= \frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$。

滚动操练
计算：$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})-(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4})×(\frac{1}{2}+\frac{1}{3})$

答案： 【解析】：
首先，我们设$A = 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}$，$B = \frac{1}{2}+\frac{1}{3}$，$C = \frac{1}{4}$，这样原式可以表示为：
$A × (B+C) - (A+C) × B$
展开得到：
$= A × B + A × C - A × B - C × B$
$= A × C - C × B$
$= C × (A - B)$
由于$A - B = 1$（因为$A$比$B$多一个1），所以：
$= C × 1$
$= \frac{1}{4}$
【答案】：
$\frac{1}{4}$