《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学》

20. (8分)新考法 新定义题 规定：对于任意实数$a$,$b$,$c$,$d$,$[a,b]*[c,d]= ac-bd$,其中等式右边是通常的乘法和减法运算,如$[3,2]*[5,1]= 3×5-2×1= 13$.
(1)求$[-4,3]*[2,-6]$的值：
$\because [a,b]*[c,d] = ac - bd$，$\therefore [-4,3]*[2,-6] =$$-4×2 - 3×(-6) = 10$。
(2)已知关于$x$的方程$[x,2x - 1]*[1,2] = 8$,求$x$的值：
$\because [x,2x - 1]*[1,2] = 8$，$\therefore$$x - 2(2x - 1) = 8$，解得$x = -2$。

答案：
(1)$\because [a,b]*[c,d] = ac - bd$，$\therefore [-4,3]*[2,-6] = -4×2 - 3×(-6) = 10$。
(2)$\because [x,2x - 1]*[1,2] = 8$，$\therefore x - 2(2x - 1) = 8$，解得$x = -2$。

21. (8分)已知正实数$x$的两个不同的平方根是$m$和$m+b$。
(1)当$b = 16$时，求$m$的值。
$\because$正实数$x$的两个不同的平方根是$m$和$m + b$，$\therefore m + m + b = 0$。$\because b = 16$，$\therefore 2m + 16 = 0$。$\therefore$$m = -8$。
(2)若$m^2x + 2(m + b)^2x = 27$，求$x$的值。
$\because$正实数$x$的两个不同的平方根是$m$和$m + b$，$\therefore (m + b)^{2} = x$，$m^{2} = x$。$\because m^{2}x + 2(m + b)^{2}x = 27$，$\therefore x^{2} + 2x^{2} = 27$。$\therefore x^{2} = 9$。$\because x ＞ 0$，$\therefore$$x = 3$。
方法点金
利用算术平方根、平方根的定义求值的思路
正确理解算术平方根和平方根的定义是解决问题的关键。若已知一个正数的算术平方根，则这个正数等于其算术平方根的平方；若已知一个正数的平方根，则这个正数等于其任意一个平方根的平方。根据一个数和它的平方根或算术平方根的关系列出方程，即可求出相应字母的值。

答案：
(1)$\because$正实数$x$的两个不同的平方根是$m$和$m + b$，$\therefore m + m + b = 0$。$\because b = 16$，$\therefore 2m + 16 = 0$。$\therefore m = -8$。
(2)$\because$正实数$x$的两个不同的平方根是$m$和$m + b$，$\therefore (m + b)^{2} = x$，$m^{2} = x$。$\because m^{2}x + 2(m + b)^{2}x = 27$，$\therefore x^{2} + 2x^{2} = 27$。$\therefore x^{2} = 9$。$\because x ＞ 0$，$\therefore x = 3$。
方法点金
利用算术平方根、平方根的定义求值的思路
正确理解算术平方根和平方根的定义是解决问题的关键。若已知一个正数的算术平方根，则这个正数等于其算术平方根的平方；若已知一个正数的平方根，则这个正数等于其任意一个平方根的平方。根据一个数和它的平方根或算术平方根的关系列出方程，即可求出相应字母的值。

22. (12分)数形结合思想 若点A,B在数轴上分别表示实数$a$,$b$,则A,B两点之间的距离表示为AB,且$AB= |a-b|$.
(1)①数轴上表示$x$和2的两点A和B之间的距离是$|x - 2|$；
②在①的条件下,如果$AB= 3$,那么$x$的值为 -1 或 5 ；
(2)当代数式$|x+1|+|x-2|$取最小值时,$x$的取值范围是$-1\leqslant x\leqslant 2$.
(3)若点A,B,C在数轴上分别表示数$a$,$b$,$c$,$a$是最大的负整数,且$(c-5)^2+|a+b|= 0$.
①直接写出$a$,$b$,$c$的值。$\because a$是最大的负整数，$\therefore a =$ -1 。$\because (c - 5)^{2} + |a + b| = 0$，$\therefore c - 5 = 0$，$a + b = 0$。$\therefore b =$ 1 ，$c =$ 5 。
②点A,B,C同时开始在数轴上运动,点A以每秒1个单位长度的速度向左运动,同时,点B,C分别以每秒1个单位长度和3个单位长度的速度向右运动,点B,C之间的距离表示为BC,点A,B之间的距离表示为AB.设运动时间为$t$秒,则$BC - AB$的值是否随着时间$t$的变化而改变？若改变,请说明理由；若不变,请求其值。$BC - AB$的值不随着时间$t$的变化而改变。$\because$点$A$以每秒 1 个单位长度的速度向左运动，点$B$，$C$分别以每秒 1 个单位长度和 3 个单位长度的速度向右运动，$\therefore BC = (5 + 3t) - (1 + t) =$$2t + 4$，$AB = (1 + t) - (-1 - t) =$$2t + 2$。$\therefore BC - AB = (2t + 4) - (2t + 2) =$ 2 。

答案：
(1) ①$|x - 2|$。② -1 或 5。
(2)$-1\leqslant x\leqslant 2$。
(3) ①$\because a$是最大的负整数，$\therefore a = -1$。$\because (c - 5)^{2} + |a + b| = 0$，$\therefore c - 5 = 0$，$a + b = 0$。$\therefore b = 1$，$c = 5$。②$BC - AB$的值不随着时间$t$的变化而改变。$\because$点$A$以每秒 1 个单位长度的速度向左运动，点$B$，$C$分别以每秒 1 个单位长度和 3 个单位长度的速度向右运动，$\therefore BC = (5 + 3t) - (1 + t) = 2t + 4$，$AB = (1 + t) - (-1 - t) = 2t + 2$。$\therefore BC - AB = (2t + 4) - (2t + 2) = 2$。