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17. (6分)如图,直线 $ l _ { 1 } // l _ { 2 } $,$ AB \perp l _ { 1 } $,垂足为 $ O $,$ BC $ 与 $ l _ { 2 } $ 相交于点 $ E $. 若 $ \angle 1 = 41 ^ { \circ } $,求 $ \angle ABC $ 的度数.
解：
解：
过点B向右作BD//$l_{1}$。∵AB⊥$l_{1}$，∴AB⊥BD。∴∠ABD = 90°。∵$l_{1}$//$l_{2}$，BD//$l_{1}$，∴BD//$l_{2}$。∴∠CBD = ∠1 = 41°。∴∠ABC = ∠CBD + ∠ABD = 41° + 90° = 131°。
答案：
过点B向右作BD//$l_{1}$。
∵AB⊥$l_{1}$，
∴AB⊥BD。
∴∠ABD = 90°。
∵$l_{1}$//$l_{2}$，BD//$l_{1}$，
∴BD//$l_{2}$。
∴∠CBD = ∠1 = 41°。
∴∠ABC = ∠CBD + ∠ABD = 41° + 90° = 131°。
∵AB⊥$l_{1}$，
∴AB⊥BD。
∴∠ABD = 90°。
∵$l_{1}$//$l_{2}$，BD//$l_{1}$，
∴BD//$l_{2}$。
∴∠CBD = ∠1 = 41°。
∴∠ABC = ∠CBD + ∠ABD = 41° + 90° = 131°。
18. (8分) 新情境 数学与生活 如图,平原上有 $ A $,$ B $,$ C $,$ D $ 四个村庄,为解决当地缺水问题,政府准备投资修建一个蓄水池.
(1) 不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池点 $ H $ 的位置,使它到四个村庄的距离之和最小.
(2) 在(1)的条件下,计划把河水引入蓄水池点 $ H $ 中,怎样开渠距离最短? 请你画出来.
(1) 不考虑其他因素,请你画图确定蓄水池点 $ H $ 的位置,使它到四个村庄的距离之和最小.
(2) 在(1)的条件下,计划把河水引入蓄水池点 $ H $ 中,怎样开渠距离最短? 请你画出来.
答案：
（1）如图,点H为所求作。（2）如图,过点H作HG⊥EF于点G,此时沿着HG开渠距离最短。
（1）如图,点H为所求作。（2）如图,过点H作HG⊥EF于点G,此时沿着HG开渠距离最短。
19. ★(10分)如图,直线 $ AB $,$ CD $ 交于点 $ O $,$ OE $ 平分 $ \angle BOC $,$ OF $ 是 $ \angle DOE $ 的平分线.
(1) 求证:$ \angle AOD = 2 \angle COE $;
证明：
(2) 若 $ \angle AOC = 50 ^ { \circ } $,求 $ \angle EOF $ 的度数;
解：
(3) 若 $ \angle BOF = 15 ^ { \circ } $,求 $ \angle AOC $ 的度数.
解：
方法点金：利用方程思想解题。在直线相交的图形中求角的度数时，通过分析题目中涉及的角的位置关系得出角之间的特殊的数量关系，把待求的角用未知数表示，与之有关的角用含未知数的式子表示，根据角之间的数量关系建立方程，把图形中的计算问题转化为解方程问题。
(1) 求证:$ \angle AOD = 2 \angle COE $;
证明：
∵OE平分∠BOC，∴∠BOC = 2∠COE。∵∠AOD = ∠BOC，∴∠AOD = 2∠COE。
(2) 若 $ \angle AOC = 50 ^ { \circ } $,求 $ \angle EOF $ 的度数;
解：
∵∠AOC = 50°，∴∠BOC = 180° - 50° = 130°。∵OE平分∠BOC，∴∠EOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = 65°。∴∠DOE = 180° - ∠EOC = 180° - 65° = 115°。∵OF平分∠DOE，∴∠EOF = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×115° = 57.5°。
(3) 若 $ \angle BOF = 15 ^ { \circ } $,求 $ \angle AOC $ 的度数.
解：
设∠AOC = ∠BOD = α。∵∠BOF = 15°，∴∠DOF = α + 15°。∵OF平分∠DOE，∴∠EOF = ∠DOF = α + 15°，∴∠EOB = ∠EOF + ∠BOF = α + 30°。∵OE平分∠BOC，∴∠BOC = 2∠EOB = 2α + 60°。∵∠BOC + ∠BOD = 180°，∴2α + 60° + α = 180°。∴α = 40°，即∠AOC = 40°。
方法点金：利用方程思想解题。在直线相交的图形中求角的度数时，通过分析题目中涉及的角的位置关系得出角之间的特殊的数量关系，把待求的角用未知数表示，与之有关的角用含未知数的式子表示，根据角之间的数量关系建立方程，把图形中的计算问题转化为解方程问题。
答案：
（1）
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC = 2∠COE。
∵∠AOD = ∠BOC，
∴∠AOD = 2∠COE。
（2）
∵∠AOC = 50°，
∴∠BOC = 180° - 50° = 130°。
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = 65°。
∴∠DOE = 180° - ∠EOC = 180° - 65° = 115°。
∵OF平分∠DOE，
∴∠EOF = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×115° = 57.5°。
（3）设∠AOC = ∠BOD = α。
∵∠BOF = 15°，
∴∠DOF = α + 15°。
∵OF平分∠DOE，
∴∠EOF = ∠DOF = α + 15°，
∴∠EOB = ∠EOF + ∠BOF = α + 30°。
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC = 2∠EOB = 2α + 60°。
∵∠BOC + ∠BOD = 180°，
∴2α + 60° + α = 180°。
∴α = 40°，即∠AOC = 40°。
方法点金：利用方程思想解题。在直线相交的图形中求角的度数时，通过分析题目中涉及的角的位置关系得出角之间的特殊的数量关系，把待求的角用未知数表示，与之有关的角用含未知数的式子表示，根据角之间的数量关系建立方程，把图形中的计算问题转化为解方程问题。
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC = 2∠COE。
∵∠AOD = ∠BOC，
∴∠AOD = 2∠COE。
（2）
∵∠AOC = 50°，
∴∠BOC = 180° - 50° = 130°。
∵OE平分∠BOC，
∴∠EOC = $\frac{1}{2}$∠BOC = 65°。
∴∠DOE = 180° - ∠EOC = 180° - 65° = 115°。
∵OF平分∠DOE，
∴∠EOF = $\frac{1}{2}$∠DOE = $\frac{1}{2}$×115° = 57.5°。
（3）设∠AOC = ∠BOD = α。
∵∠BOF = 15°，
∴∠DOF = α + 15°。
∵OF平分∠DOE，
∴∠EOF = ∠DOF = α + 15°，
∴∠EOB = ∠EOF + ∠BOF = α + 30°。
∵OE平分∠BOC，
∴∠BOC = 2∠EOB = 2α + 60°。
∵∠BOC + ∠BOD = 180°，
∴2α + 60° + α = 180°。
∴α = 40°，即∠AOC = 40°。
方法点金：利用方程思想解题。在直线相交的图形中求角的度数时，通过分析题目中涉及的角的位置关系得出角之间的特殊的数量关系，把待求的角用未知数表示，与之有关的角用含未知数的式子表示，根据角之间的数量关系建立方程，把图形中的计算问题转化为解方程问题。
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