《2025年通城学典暑期升级训练七年级数学》

20. (14分)(1) 如图①,直线 $ AB // CD $,连接 $ BE $,$ CE $,可以证明 $ \angle BEC = \angle B + \angle C $. 请把下面的证明过程补充完整:
证明:如图①,过点 $ E $ 作 $ EF // AB $.
$ \therefore \angle B = \angle BEF $(______).
$ \because AB // CD $,$ EF // AB $,
$ \therefore EF // CD $(______).
$ \therefore \angle C = \angle CEF $.
$ \because \angle B + \angle C = $______ $ + $______,
$ \therefore \angle BEC = \angle B + \angle C $(等式的基本事实).
(2) 如果点 $ E $ 运动到如图②所示的位置,其他条件不变,求证:$ \angle B + \angle C = 360 ^ { \circ } - \angle BEC $.
(3) 如图③,$ AB // CD $,$ E $,$ F $ 是 $ AB $ 与 $ CD $ 之间的点,探究 $ \angle B $,$ \angle BEF $,$ \angle EFD $,$ \angle D $ 之间的数量关系.

答案：
（1）两直线平行，内错角相等；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；∠BEF；∠CEF。
（2）过点E向左作EF//AB，
∵AB//CD，
∴AB//CD//EF。
∴∠B + ∠BEF = 180°，∠C + ∠CEF = 180°。
∴∠B + ∠BEF + ∠C + ∠CEF = 360°，即∠B + ∠C + ∠BEC = 360°。
∴∠B + ∠C = 360° - ∠BEC。
（3）如图,作EG//AB，FH//CD。
∵AB//CD，
∴EG//AB//FH//CD。
∴∠B = ∠1，∠2 = ∠3，∠4 + ∠D = 180°。
∴∠1 + ∠2 = ∠B + ∠3，即∠BEF = ∠B + ∠3。
∴∠3 = ∠BEF - ∠B。
∵∠4 + ∠D = 180°，
∴∠4 = 180° - ∠D。
∴∠3 + ∠4 = ∠BEF - ∠B + 180° - ∠D，即∠EFD = ∠BEF - ∠B + 180° - ∠D。
∴∠B + ∠D + ∠EFD - ∠BEF = 180°。

21. (14分) 新考法 探究题 如图①,射线 $ OB $ 在 $ \angle AOC $ 内,若满足 $ \angle BOC + \angle AOC = 180 ^ { \circ } $,则称射线 $ OB $ 为 $ \angle BOC $ 与 $ \angle AOC $ 的互补线.
(1) 如图②,$ O $ 是直线 $ AD $ 上一点,射线 $ OB $,$ OC $ 在直线 $ AD $ 的同侧,且射线 $ OC $ 平分 $ \angle BOD $. 求证:射线 $ OB $ 为 $ \angle BOC $ 与 $ \angle AOC $ 的互补线.
∵射线OC平分∠BOD，∴∠BOC = ∠COD。∵∠AOC + ∠COD = 180°，∴∠AOC + ∠BOC = 180°。∴射线OB为∠BOC与∠AOC的互补线。
(2) 如图③,直线 $ AB $,$ CD $ 相交于点 $ O $,射线 $ OE $ 为 $ \angle BOC $ 与 $ \angle BOE $ 的互补线. 若 $ \angle AOD = 136 ^ { \circ } $,求 $ \angle DOE $ 的度数.
∵射线OE为∠BOC与∠BOE的互补线，∴∠BOC + ∠BOE = 180°。又∵∠AOC + ∠BOC = 180°，∴∠AOC = ∠BOE。∵∠AOC + ∠AOD = 180°，且∠AOD = 136°，∴∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 136° = 44°。∴∠BOE = 44°。∴∠COE = 180° - ∠AOC - ∠BOE = 180° - 44° - 44° = 92°。∴∠DOE = 180° - ∠COE = 180° - 92° = 88°。
(3) 如图④,射线 $ OB $ 为 $ \angle BOC $ 与 $ \angle AOC $ 的互补线,且射线 $ OE $,$ OF $ 分别平分 $ \angle AOC $,$ \angle BOC $,则 $ \angle BOC + \angle EOF $ 的度数是否改变? 若不改变,求出 $ \angle BOC + \angle EOF $ 的度数;若改变,请说明理由.
∠BOC + ∠EOF的度数不改变。∵射线OB为∠BOC与∠AOC的互补线，∴∠AOC + ∠BOC = 180°。∵射线OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，∴∠AOE = ∠EOC，∠BOF = ∠FOC。∵∠AOC + ∠BOC = 180°，∴∠BOF + ∠FOC + ∠AOE + ∠EOC = 180°。∴2∠BOF + 2∠EOC = 180°。∴∠BOF + ∠EOC = 90°。∵∠EOC = ∠EOB + ∠BOF + ∠FOC，∴∠BOF + ∠EOB + ∠BOF + ∠FOC = 90°。∴2∠BOF + ∠EOB + ∠FOC = 90°。∴2∠BOF + ∠EOB + ∠BOF = 90°。∵2∠BOF = ∠BOC，∠EOB + ∠BOF = ∠EOF，∴∠BOC + ∠EOF = 90°。

答案： （1）
∵射线OC平分∠BOD，
∴∠BOC = ∠COD。
∵∠AOC + ∠COD = 180°，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°。
∴射线OB为∠BOC与∠AOC的互补线。
（2）
∵射线OE为∠BOC与∠BOE的互补线，
∴∠BOC + ∠BOE = 180°。又
∵∠AOC + ∠BOC = 180°，
∴∠AOC = ∠BOE。
∵∠AOC + ∠AOD = 180°，且∠AOD = 136°，
∴∠AOC = 180° - ∠AOD = 180° - 136° = 44°。
∴∠BOE = 44°。
∴∠COE = 180° - ∠AOC - ∠BOE = 180° - 44° - 44° = 92°。
∴∠DOE = 180° - ∠COE = 180° - 92° = 88°。
（3）∠BOC + ∠EOF的度数不改变。
∵射线OB为∠BOC与∠AOC的互补线，
∴∠AOC + ∠BOC = 180°。
∵射线OE，OF分别平分∠AOC，∠BOC，
∴∠AOE = ∠EOC，∠BOF = ∠FOC。
∵∠AOC + ∠BOC = 180°，
∴∠BOF + ∠FOC + ∠AOE + ∠EOC = 180°。
∴2∠BOF + 2∠EOC = 180°。
∴∠BOF + ∠EOC = 90°。
∵∠EOC = ∠EOB + ∠BOF + ∠FOC，
∴∠BOF + ∠EOB + ∠BOF + ∠FOC = 90°。
∴2∠BOF + ∠EOB + ∠FOC = 90°。
∴2∠BOF + ∠EOB + ∠BOF = 90°。
∵2∠BOF = ∠BOC，∠EOB + ∠BOF = ∠EOF，
∴∠BOC + ∠EOF = 90°。